Wielomian nierozkładalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

W matematyce, wielomian jest nierozkładalny (inaczej: nieprzywiedlny), jeśli nie da się go rozłożyć na iloczyn dwóch prostszych wielomianów. W przypadku wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, wielomian jest nierozkładalny, jeśli nie da się go przedstawić jako iloczynu dwóch wielomianów rzeczywistych o stopniach niższych niż wielomian wyjściowy. Dla przykładu wielomian x^2-1=(x-1)(x+1) jest rozkładalny, a wielomian x^2+1 nie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech \mathbb{F} będzie ciałem. Pierścień wielomianów o współczynnikach z \mathbb{F} oznaczamy przez \mathbb{F}[x].

Wielomian f nazywamy nierozkładalnym nad \mathbb{F} jeśli:

  • stopień wielomianu jest większy od zera: \deg f > 0\,\! (wielomian f nie jest stały),
  • w każdym rozkładzie f jeden z wielomianów-czynników ma stopień zero, tzn. jest stałą:
\forall g,h \in F[t]\ (f = gh \implies \deg g = 0 \or \deg h = 0).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wielomiany nierozkładalne można porównywać do liczb pierwszych (oraz ich ujemnych odpowiedników), które są nierozkładalnymi liczbami całkowitymi. Każdy wielomian nad danym ciałem daje się rozłożyć, a rozkład ten jest jednoznaczny z dokładnością do permutacji oraz do iloczynu współczynników kolejnych czynników rozkładu. Dzieje się tak, ponieważ F[x] jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Wynika z tego, że każdy wielomian f daje się przedstawić, z dokładnością do permutacji, w postaci

 f = a\prod_{i=1}^nf_i,

gdzie  a \in F oraz  f_i, i = 1 \ldots n są nierozkładalne i unormowane (tzn. współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1).

Jeżeli  f \in \mathbb{Z}_p[X] jest wielomianem nierozkładalnym stopnia  r>1 to  f \mid X^{p^r-1} - 1 a stąd jeśli f jest wielomianem nierozkładalnym to f \mid X^{p^r} - X

Jeżeli wielomian nierozkładalny  f \in \mathbb{Z}_p[X] dzieli wielomian X^{p^d}-X, to \deg\ f \mid d.

Zachodzi następująca równość:

 X^{p^d}-X = \prod_{f \in \mathbb{Z}_p[X]} f ,

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich wielomianach unormowanych, nierozkładalnych w \mathbb{Z}_p i stopnie tych wielomianów dzielą d.

Dla każdego d > 0 istnieje w \mathbb{Z}_p[X] wielomian nierozkładalny stopnia d.

Wielomian nierozkładalny g \in \mathbb{Z}_p[X] nazywamy wielomianem pierwotnym.

X \in \mathbb{Z}_p[X]_{/f} jest generatorem grupy multiplikatywnej tego ciała.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy następujące wielomiany kolejno nad różnymi ciałami:

p_1(x)=x^2+4x+4\,={(x+2)(x+2)},
p_2(x)=x^2-4\,={(x-2)(x+2)},
p_3(x)=x^2-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3),
p_4(x)=x^2-2\,=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}),
p_5(x)=x^2+1\,={(x-i)(x+i)}.

Nad pierścieniem \mathbb Z liczb całkowitych dwa pierwsze wielomiany są rozkładalne, a dwa ostatnie nie (trzeci nie jest wielomianem nad \mathbb{Z}).

Nad ciałem \mathbb Q liczb wymiernych pierwsze trzy wielomiany są rozkładalne, a dwa ostatnie są nieprzywiedlne.

Nad ciałem \mathbb R liczb rzeczywistych pierwsze cztery wielomiany są rozkładalne, ale piąty nie.

Nad cialem \mathbb C liczb zespolonych wszystkie powyższe wielomiany są rozkładalne, na mocy zasadniczego twierdzenia algebry.

Istnienie nierozkładalnych wielomianów stopnia wyższego niż jeden w ciele \mathbb{Q} dało początek badaniom nad liczbami algebraicznymi, czyli zbiorem pierwiastków wielomianów o współczynnikach wymiernych. Badaniem ciał oraz ich rozszerzeń, zajmuje się Teoria Galois.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Browkin Jerzy, Teoria ciał, PWN, 1977.