Wielomian nierozkładalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomian nierozkładalny (inaczej: nieprzywiedlny) – wielomian, którego nie da się rozłożyć na iloczyn dwóch prostszych wielomianów. W przypadku wielomianów o współczynnikach rzeczywistych, wielomian jest nierozkładalny, jeśli nie da się go przedstawić jako iloczynu dwóch wielomianów rzeczywistych o stopniach niższych niż wielomian wyjściowy. Dla przykładu wielomian jest rozkładalny, a wielomian nie.

Pojęcia nierozkładalności i nieprzywiedlności są tożsame nad ciałem, dlatego w tym znaczeniu pojęcia te można stosować wymiennie. Jednak w przypadku uogólnienia tych pojęć na dowolne pierścienie całkowite, pojęcia te przestają być równoważne[1].

Definicja[edytuj]

Niech będzie ciałem. Pierścień wielomianów o współczynnikach z oznaczamy przez .

Wielomian nazywamy nierozkładalnym nad jeśli:

  • stopień wielomianu jest większy od zera: (wielomian nie jest stały),
  • w każdym rozkładzie jeden z wielomianów-czynników ma stopień zero, tzn. jest stałą:

Własności[edytuj]

Wielomiany nierozkładalne można porównywać do liczb pierwszych (oraz ich ujemnych odpowiedników), które są nierozkładalnymi liczbami całkowitymi. Każdy wielomian nad danym ciałem daje się rozłożyć, a rozkład ten jest jednoznaczny z dokładnością do permutacji oraz do iloczynu współczynników kolejnych czynników rozkładu. Dzieje się tak, ponieważ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.

Wynika z tego, że każdy wielomian daje się przedstawić, z dokładnością do permutacji, w postaci

gdzie oraz są nierozkładalne i unormowane (tzn. współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1).

Jeżeli jest wielomianem nierozkładalnym stopnia to a stąd jeśli jest wielomianem nierozkładalnym to

Jeżeli wielomian nierozkładalny dzieli wielomian to

Zachodzi następująca równość:

,

gdzie iloczyn przebiega po wszystkich wielomianach unormowanych, nierozkładalnych w i stopnie tych wielomianów dzielą .

Dla każdego istnieje w wielomian nierozkładalny stopnia .

Wielomian nierozkładalny nazywamy wielomianem pierwotnym.

jest generatorem grupy multiplikatywnej tego ciała.

Przykłady[edytuj]

Rozpatrzmy następujące wielomiany kolejno nad różnymi ciałami:

,
,
,
,
.

Nad pierścieniem liczb całkowitych dwa pierwsze wielomiany są rozkładalne, a dwa ostatnie nie (trzeci nie jest wielomianem nad ).

Nad ciałem liczb wymiernych pierwsze trzy wielomiany są rozkładalne, a dwa ostatnie są nieprzywiedlne.

Nad ciałem liczb rzeczywistych pierwsze cztery wielomiany są rozkładalne, ale piąty nie.

Nad ciałem liczb zespolonych wszystkie powyższe wielomiany są rozkładalne, na mocy zasadniczego twierdzenia algebry.

Istnienie nierozkładalnych wielomianów stopnia wyższego niż jeden w ciele dało początek badaniom nad liczbami algebraicznymi, czyli zbiorem pierwiastków wielomianów o współczynnikach wymiernych. Badaniem ciał oraz ich rozszerzeń, zajmuje się Teoria Galois.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Bolesław Gleichgewicht, Algebra, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2004, ISBN 978-83-89020-35-2; s.311

Bibliografia[edytuj]

  • J. Browkin: Teoria ciał. Wyd. 1. T. 49. Warszawa: PWN, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.