Pierścień wielomianów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Pierścień wielomianówpierścień określony na zbiorze wielomianów jednej lub więcej zmiennych o współczynnikach z ustalonego pierścienia. Pierścienie wielomianów stanowiły inspirację do rozwoju wielu działów matematyki, począwszy od twierdzenia Hilberta o bazie, przez konstrukcję ciał rozdzielczych, po rozumienie operatora liniowego. Wiele ważnych hipotez, takich jak hipoteza Serre'a, wpłynęło na badania nad innymi rodzajami pierścieni, a nawet było źródłem nowych definicji pierścieni, takich jak pierścienie grupowe, czy pierścienie szeregów formalnych.

Wielomiany jednej zmiennej[edytuj]

Wielomiany[edytuj]

Wprowadzenie do wielomianów jednej zmiennej można znaleźć w artykule o wielomianach.

Niech dany będzie dowolny pierścień z jedynką oraz symbol nazywany zmienną oraz jego potęgi, czyli symbole postaci gdzie jest nieujemną liczbą całkowitą. Wielomianem zmiennej nad nazywa się wyrażenie postaci

gdzie elementy nazywa się współczynnikami tego wielomianu.

Przyjmując zwyczajowo oraz powyższe można zapisać jako kombinację liniową

Wyrażenia postaci nazywa się wyrazami, wyraz często określa się mianem wyrazu wolnego. Dowolny wyraz o zerowym współczynniku, zwykle się pomija.

Dwa wielomiany uważa się za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie współczynniki przy każdej potędze są sobie równe. Stopniem wielomianu nazywa się największe takie dla którego współczynnik przy jest niezerowy. W przypadku wielomianu zerowego stopień jest niezdefiniowany lub, z racji pożądanych własności algebraicznych tego symbolu, przyjmuje się oznaczenie

Pierścień wielomianów[edytuj]

Sumy powyższej postaci można dodawać i mnożyć zgodnie z zwykłymi regułami operowania na wyrażeniach algebraicznych takich jak łączność, przemienność (w odpowiednim przypadku), rozdzielność i łączenie wyrazów podobnych z zachowaniem tożsamości dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych Działania dodawania i mnożenia dane explicite odpowiednio wzorami[1]

oraz

Ponieważ tylko skończenie wiele współczynników oraz jest niezerowych, to wszystkie sumy mają skończenie wiele wyrazów, przez co reprezentują one wielomiany z co oznacza, że powyższe działania są poprawnie określone.

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej o współczynnikach z pierścienia tworzy wraz z wyżej zdefiniowanymi działaniami pierścień przemienny oznaczany symbolem nazywany pierścieniem wielomianów zmiennej nad pierścieniem Terminologia ma swoje źródło w ważnych przypadkach wielomianów o współczynnikach rzeczywistych czy zespolonych, które mogą być postrzegane jako rzeczywiste bądź zespolone funkcje wielomianowe. W ogólności jednak znak oraz jego potęgi traktuje się jako symbole formalne spoza pierścienia O pierścieniu można myśleć jako o pierścieniu powstałym z przez dodanie do niego nowego, zewnętrznego w stosunku do tego pierścienia, elementu oraz wszystkich jego potęg, co gwarantuje, że będzie tworzyć pierścień; prowadzi to wprost do definicji wielomianów jako kombinacji liniowych potęg o współczynnikach z

Konstrukcja[edytuj]

Powyższe spojrzenie wyrosło na bazie klasycznej postaci wielomianów. Formalnie wielomian o współczynnikach z pierścienia definiuje się jako nieskończony ciąg jego elementów, w którym tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera.

Dla ciągów

oraz

można określić działanie dodawania po składowych, mnożenie dane jest zaś za pomocą splotu, odpowiednio:

co czyni ze zbioru wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad pierścień z jedynką nazywany pierścieniem wielomianów.

Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość ciągów z wyrażeniami formalnymi wynika z utożsamień

itd.,

przy czym dwa pierwsze elementy są elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia.

Własności[edytuj]

Funkcja wielomianowa[edytuj]

Wartością wielomianu

w punkcie nazywa się element

.

Przyporządkowanie dane wzorem nazywa się ewaluacją wielomianu w punkcie Pierwiastkami wielomianu nazywa się wszystkie te elementy dla których wartość wielomianu jest równa zeru.

Funkcją wielomianową nazywa się przekształcenie dane wzorem które przyporządkowuje każdemu elementowi pierścienia jego wartość, co można zapisać wzorem

gdzie

Przekształcenie przyporządkowujące każdemu wielomianowi jego funkcję wielomianową oraz przekształcenie homomorfizmami pierścieni. Jądro homomorfizmu stanowią wielomiany, dla których jest pierwiastkiem (z twierdzenia Bézouta - podzielne przez ).

W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie. Jednak w algebrze zwykle jest to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z2 funkcje i są identyczne, gdyż oraz W pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.

Pochodna wielomianu[edytuj]

 Osobny artykuł: pochodna wielomianu.

Pochodną wielomianu określa się wzorem

W szczególności pochodną wielomianu stałego jest wielomian zerowy.

Definicja ta nie zależy od analitycznych własności pierścienia tj. różniczkowanie wielomianów może być określone np. w pierścieniu klas reszt modulo n, gdzie branie granicy nie ma sensu. Tak określona pochodna ma następujące własności:

Za pomocą indukcji matematycznej można określić -tą pochodną wielomianu:

Teoria podzielności[edytuj]

Wielomian nazywa się wielomianem nierozkładalnym w , gdy nie można przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów dodatniego stopnia.

Kryterium Eisensteina pozwala udowodnić nierozkładalność wielomianu o współczynnikach z pierścienia z jednoznacznością rozkładu.

Uogólnienia[edytuj]

Określone powyżej pojęcie wielomianu można uogólnić:

  • na funkcje wymierne - ciało ułamków pierścienia całkowitego oznacza się przez i nazywa ciałem funkcji wymiernych;
  • na większą liczbę zmiennych (patrz niżej);
  • usuwając założenie o skończoności liczby wyrazów; tak określony pierścień nazywa się pierścieniem szeregów formalnych, oznaczany jest

Wielomiany wielu zmiennych[edytuj]

Pierścień wielomianów nad pierścieniem wielomianów nad pierścieniem nazywa się pierścieniem wielomianów zmiennych nad pierścieniem i oznacza . Używając indukcji matematycznej można określić pierścień wielomianów zmiennych[2] wzorem

.

Wielomian dwóch zmiennych można zapisać w postaci . Ogólniej, każdy wielomian zmiennych w postaci

,

gdzie jest zbiorem skończonym.

Wielomiany symetryczne[edytuj]

Mając dany wielomian można dokonać na nim permutacji zmiennych otrzymując nowy wielomian:

Jeżeli wielomian nie zmienia się po tej operacji, to nazywa się go niezmienniczym względem permutacji lub też mówi się, że permutacja nie zmienia wielomianu Przykład: wielomian nie zmienia się po po zamianie zmiennych i .

Można udowodnić, że zbiór wszystkich permutacji nie zmieniających wielomianu wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę, zwaną grupą symetrii wielomianu.

Wielomianem symetrycznym nazywa się wielomian, który nie zmienia się po dowolnej permutacji zmiennych; innymi słowy, jest to wielomian którego grupa symetrii jest równa . Przykładem mogą być wielomiany

.

Wielomianami symetrycznymi podstawowymi zmiennych nazywa się wielomiany

Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem o wielomianach symetrycznych, każdy wielomian symetryczny zmiennych można przedstawić w postaci złożenia wielomianu i wielomianów symetrycznych podstawowych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego istnieje taki wielomian że:

Takie przyporządkowanie jest izomorfizmem pierścienia wielomianów na pierścień wielomianów symetrycznych.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Przy czym w pierwszym przypadku dopisuje się „ślepe” wyrazy o zerowych współczynnikach, aby zagwarantować formalnie ten sam zbiór potęg w obu składnikach; w drugim przypadku sumowanie wewnętrzne po prawej stronie odbywa się wyłącznie po wskaźnikach z zakresu, tzn. oraz uniknięcie tych problemów jest możliwe poprzez przyjęcie wzorów oraz
  2. Możliwe jest także zdefiniowanie pierścienia wielomianów nieskończonej liczbie zmiennych.