Pierścień wielomianów

Pierścień wielomianów – pierścień określony na zbiorze wielomianów jednej lub więcej zmiennych o współczynnikach z ustalonego pierścienia. Pierścienie wielomianów stanowiły inspirację do rozwoju wielu działów matematyki, począwszy od twierdzenia Hilberta o bazie, przez konstrukcję ciał rozdzielczych, po rozumienie operatora liniowego. Wiele ważnych hipotez, takich jak hipoteza Serre'a, wpłynęło na badania nad innymi rodzajami pierścieni, a nawet było źródłem nowych definicji pierścieni, takich jak pierścienie grupowe, czy pierścienie szeregów formalnych.

Wielomiany jednej zmiennej

Wielomiany

Wprowadzenie do wielomianów jednej zmiennej można znaleźć w artykule o wielomianach.

Niech dany będzie dowolny pierścień z jedynką $R$ oraz symbol $X,$ nazywany zmienną, oraz jego potęgi, czyli symbole postaci $X^{k},$ gdzie $k$ jest nieujemną liczbą całkowitą. Wielomianem zmiennej $X$ nad $R$ nazywa się wyrażenie postaci

$\mathrm {p} =\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k},$

gdzie elementy $a_{k}\in R$ nazywa się współczynnikami tego wielomianu.

Przyjmując zwyczajowo $X^{1}=X$ oraz $X^{0}=1$ powyższe można zapisać jako kombinację liniową

$\mathrm {p} =a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}.$

Wyrażenia postaci $a_{k}X^{k}$ nazywa się wyrazami, wyraz $a_{0}$ często określa się mianem wyrazu wolnego. Dowolny wyraz $a_{k}X^{k}$ o zerowym współczynniku, $a_{k}=0,$ zwykle się pomija.

Dwa wielomiany uważa się za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie współczynniki przy każdej potędze $X$ są sobie równe. Stopniem wielomianu nazywa się największe takie $k,$ dla którego współczynnik przy $X^{k}$ jest niezerowy. W przypadku wielomianu zerowego stopień jest niezdefiniowany lub, z racji pożądanych własności algebraicznych tego symbolu, przyjmuje się oznaczenie $-\infty .$

Pierścień wielomianów

Sumy powyższej postaci można dodawać i mnożyć zgodnie ze zwykłymi regułami operowania na wyrażeniach algebraicznych takich jak łączność, przemienność (w odpowiednim przypadku), rozdzielność i łączenie wyrazów podobnych z zachowaniem tożsamości $X^{k}X^{l}=X^{k+l}$ dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych $k,l.$ Działania dodawania i mnożenia dane explicite odpowiednio wzorami

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}$

oraz

$\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.$

Ponieważ tylko skończenie wiele współczynników $a_{i}$ oraz $b_{j}$ jest niezerowych, to wszystkie sumy mają skończenie wiele wyrazów, przez co reprezentują one wielomiany z $R[X],$ co oznacza, że powyższe działania są poprawnie określone.

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej $X$ o współczynnikach z pierścienia $R$ tworzy wraz z wyżej zdefiniowanymi działaniami pierścień przemienny, oznaczany symbolem $R[X]$ nazywany pierścieniem wielomianów zmiennej $X$ nad pierścieniem $R.$ Terminologia ma swoje źródło w ważnych przypadkach wielomianów o współczynnikach rzeczywistych czy zespolonych, które mogą być postrzegane jako rzeczywiste bądź zespolone funkcje wielomianowe. W ogólności jednak znak $X$ oraz jego potęgi $X^{k}$ traktuje się jako symbole formalne, spoza pierścienia $R.$ O pierścieniu $R[X]$ można myśleć jako o pierścieniu powstałym z $R$ przez dodanie do niego nowego, zewnętrznego w stosunku do tego pierścienia, elementu $X$ oraz wszystkich jego potęg, co gwarantuje, że $R[X]$ będzie tworzyć pierścień; prowadzi to wprost do definicji wielomianów jako kombinacji liniowych potęg $X$ o współczynnikach z $R.$

Konstrukcja

Powyższe spojrzenie wyrosło na bazie klasycznej postaci wielomianów. Formalnie wielomian o współczynnikach z pierścienia $R$ definiuje się jako nieskończony ciąg jego elementów, w którym tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera.

Dla ciągów

$\mathrm {p} =(a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},0,0,\dots )$

oraz

$\mathrm {q} =(b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m},0,0,\dots )$

można określić działanie dodawania po składowych, mnożenie dane jest zaś za pomocą splotu, odpowiednio:

$\mathrm {p} +\mathrm {q} =(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ),$

$\mathrm {p} \cdot \mathrm {q} =(a_{0}b_{0},a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0},a_{2}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{2},\dots ),$

co czyni ze zbioru $R[X]$ wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad $R$ pierścień z jedynką nazywany pierścieniem wielomianów.

Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość ciągów z wyrażeniami formalnymi wynika z utożsamień

$(0,0,0,0,\dots )=\mathrm {0} ,$

$(1,0,0,0,\dots )=X^{0}=\mathrm {1} ,$

$(0,1,0,0,\dots )=X^{1}=X,$

$(0,0,1,0,\dots )=X^{2}$ itd.,

przy czym dwa pierwsze elementy są elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia.

Własności

• Jeżeli $R$ jest przemienny, to $R[X]$ również.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jedynką, to $R[X]$ również ją ma – jest to wielomian $(1,0,0,\dots ).$
• Jeżeli $R$ nie zawiera dzielników zera, to $R[X]$ również.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem całkowitym, to $R[X]$ również.
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to $R[X]$ również (twierdzenie Gaussa).
• Jeżeli $R$ jest pierścieniem noetherowskim, to $R[X]$ również (twierdzenie Hilberta o bazie).
• Jeżeli $R$ jest ciałem, to $R[X]$ jest pierścieniem euklidesowym.
• Pierścień $R[X]$ nie może być ciałem, gdyż element $X$ nie jest odwracalny.

Funkcja wielomianowa

Wartością wielomianu

$\mathrm {p} =a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in R[X]$

w punkcie $r\in R$ nazywa się element

$\mathrm {p} (r)=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}\in R.$

Przyporządkowanie $p_{r}$ dane wzorem $\mathrm {p} \mapsto \mathrm {p} (r)$ nazywa się ewaluacją wielomianu $\mathrm {p}$ w punkcie $r.$ Pierwiastkami wielomianu $\mathrm {p}$ nazywa się wszystkie te elementy $r,$ dla których wartość wielomianu jest równa zeru.

Funkcją wielomianową nazywa się przekształcenie $p\colon R\to R$ dane wzorem $r\mapsto \mathrm {p} (r),$ które przyporządkowuje każdemu elementowi pierścienia $R$ jego wartość, co można zapisać wzorem

$p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},$

gdzie $x\in R.$

Przekształcenie przyporządkowujące każdemu wielomianowi $\mathrm {p}$ jego funkcję wielomianową $p$ oraz przekształcenie $p_{r}$ są homomorfizmami pierścieni. Jądro homomorfizmu $p_{r}$ stanowią wielomiany, dla których $r$ jest pierwiastkiem (z twierdzenia Bézouta – podzielne przez $X-r$).

W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie. Jednak w algebrze zwykle jest to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z₂ funkcje $x^{2}$ i $x$ są identyczne, gdyż $0^{2}=0$ oraz $1^{2}=1.$ W pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.

Pochodna wielomianu

Pochodną wielomianu określa się wzorem

$\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\right)'=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}X^{k-1}.$

W szczególności pochodną wielomianu stałego jest wielomian zerowy.

Definicja ta nie zależy od analitycznych własności pierścienia $R,$ tj. różniczkowanie wielomianów może być określone, np. w pierścieniu klas reszt modulo n, gdzie branie granicy nie ma sensu. Tak określona pochodna ma następujące własności:

$(f+g)'=f'+g',$

$(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'.$

Za pomocą indukcji matematycznej można określić $k$-tą pochodną wielomianu:

${\begin{cases}f^{(0)}&=f,\\f^{(k)}&=(f^{(k-1)})'.\end{cases}}$

Teoria podzielności

Wielomian $f\in R[X]$ nazywa się wielomianem nierozkładalnym w $R[X],$ gdy nie można przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów dodatniego stopnia.

Kryterium Eisensteina pozwala udowodnić nierozkładalność wielomianu o współczynnikach z pierścienia z jednoznacznością rozkładu.

Uogólnienia

Określone powyżej pojęcie wielomianu można uogólnić:

• na funkcje wymierne – ciało ułamków pierścienia całkowitego $R[X]$ oznacza się przez $R(X)$ i nazywa ciałem funkcji wymiernych;
• na większą liczbę zmiennych (patrz niżej);
• usuwając założenie o skończoności liczby wyrazów; tak określony pierścień nazywa się pierścieniem szeregów formalnych, oznaczany jest $R[\![X]\!].$

Wielomiany wielu zmiennych

Pierścień wielomianów $R[X][Y]$ nad pierścieniem wielomianów $R[X]$ nad pierścieniem $R$ nazywa się pierścieniem wielomianów zmiennych $X,Y$ nad pierścieniem $R$ i oznacza $R[X,Y].$ Używając indukcji matematycznej można określić pierścień wielomianów $n$ zmiennych wzorem

$P[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]=R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1}][X_{n}].$

Wielomian dwóch zmiennych można zapisać w postaci $\sum _{i,j=0}^{n}a_{ij}X^{i}Y^{j}.$ Ogólniej, każdy wielomian $n$ zmiennych w postaci

$\sum _{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\in A}~a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{k_{i}},$

gdzie $A\subset \mathbb {N} _{0}^{n}$ jest zbiorem skończonym.

Wielomiany symetryczne

Mając dany wielomian $\mathrm {f} \in R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ można dokonać na nim permutacji zmiennych $\pi ={\begin{pmatrix}1&2&\ldots &n\\\pi _{1}&\pi _{2}&\dots &\pi _{n}\end{pmatrix}}$ otrzymując nowy wielomian:

$\mathrm {g} (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\mathrm {f} (X_{\pi _{1}},X_{\pi _{2}},\dots ,X_{\pi _{n}}).$

Jeżeli wielomian nie zmienia się po tej operacji, to nazywa się go niezmienniczym względem permutacji $\pi$ lub też mówi się, że permutacja nie zmienia wielomianu $\mathrm {f} .$ Przykład: wielomian $x+y-z$ nie zmienia się po zamianie zmiennych $x$ i $y.$

Można udowodnić, że zbiór wszystkich permutacji nie zmieniających wielomianu wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę, zwaną grupą symetrii wielomianu.

Wielomianem symetrycznym nazywa się wielomian, który nie zmienia się po dowolnej permutacji zmiennych; innymi słowy, jest to wielomian którego grupa symetrii jest równa $S_{n}.$ Przykładem mogą być wielomiany

$X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}$

$X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4}.$

Wielomianami symetrycznymi podstawowymi $n$ zmiennych nazywa się wielomiany

$\mathrm {p} _{1}=X_{1}+X_{2}+X_{3}+\ldots +X_{n},$

$\mathrm {p} _{2}=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+\ldots +X_{n-1}X_{n},$

$\dots$

$\mathrm {p} _{n}=X_{1}X_{2}\dots X_{n}.$

Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem o wielomianach symetrycznych, każdy wielomian symetryczny $n$ zmiennych można przedstawić w postaci złożenia wielomianu i wielomianów symetrycznych podstawowych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego $\mathrm {f}$ istnieje taki wielomian $\mathrm {g} ,$ że:

$\mathrm {f} (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\mathrm {g} (\mathrm {p} _{1},\mathrm {p} _{2},\dots ,\mathrm {p} _{n}).$

Takie przyporządkowanie jest izomorfizmem pierścienia wielomianów na pierścień wielomianów symetrycznych.

Zobacz też

• element algebraiczny