Wymiar podobieństwa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wymiar podobieństwa (inaczej wymiar fraktalny, wymiar samopodobieństwa) – miara fraktali. Jego wartości mogą być dowolnymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi. Z formalnego punktu widzenia istnieje kilka nierównoważnych definicji wymiarów, które w różnych sytuacjach są określane mianem wymiarów fraktalnych. Często termin ten odnosi się do wymiaru Hausdorffa.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Świat jest trójwymiarowy, więc aby opisać położenie dowolnego punktu w przestrzeni, stosuje się trzy współrzędne - x, y i z. Aby jednak opisać położenie przedmiotu (punktu) położonego na stole, wystarczą jedynie dwie współrzędne - x i y. Aby zaś opisać położenie np. pewnego miejsca na sznurze, może wystarczyć jedna współrzędna. Zwinięty w kłębek sznur ma jeden wymiar topologiczny (wymagana jest jedna współrzędna do określenia położenia na nim), ale jego wymiar euklidesowy jest równy 3, niezależnie od tego, czy jest zwinięty, czy też rozwinięty.

Wymiar podobieństwa, czy też wymiar fraktalny określa rzeczywistą miarę fraktala. Jeśli przedmiot w całej wielkości zawiera N samopodobnych kopii siebie wielkości s, to jego wymiar D_s samopobieństwa wyrażony jest przez równanie:

Ns^{D_s}=1.

Można je przekształcić do postaci:

D_{s}=\frac{\log(N)}{\log(1/s)}

Przykładowe wymiary[edytuj | edytuj kod]

Wymiary samopodobieństwa fraktali są liczbami rzeczywistymi. Na przykład w. fraktalny zbioru Cantora wynosi w przybliżeniu 0,630929, zaś kostki Mengera około 2,726833. Wymiary samopodobieństwa figur zdecydowanie bliższych nam - linii, kwadratu i sześcianu, to odpowiednio 1, 2 i 3. Takie też są ich wymiary topologiczne, czyli tyle współrzędnych jest nam potrzebnych do opisania położenia w ich wnętrzu. Wymiary samopobieństwa fraktali zawierają się np. w przedziale (1,2), czyli wymiary tej grupy fraktali (mowa tu na przykład o trójkącie Sierpińskiego, czy płatku Kocha) są mniejsze niż figury płaskiej, a większe niż prostej. Tak więc fraktale, których wymiary samopodobieństwa zawierają się w tym przedziale nie są już prostymi, a jeszcze nie są figurami płaskimi.