Wymiar Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru określamy miarę zewnętrzną

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów które pokrywają i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej

Gdy maleje, to rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa[1] (dla wykładnika ):

Łatwo sprawdzić, że:

  • dla każdego
  • dla każdego

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny[edytuj | edytuj kod]

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)[2] udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)[3] wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry’ego Wallmana[4]; patrz też rosyjskie tłumaczenie[5], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

Praktyczna metoda wyznaczania[edytuj | edytuj kod]

Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudne[6]. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzenia[7][8]:

Niech będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego zachodzi Wtedy wymiar Hausdorffa jest równy liczbie będącej rozwiązaniem równania:

Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary

Przykład: dywan Sierpińskiego:

Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa Wtedy rozwiązaniem równania

jest

Dla kostki Mengera będzie to więc dla piramidy Sierpińskiego a dla zbioru Cantora

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. F. Hausdorff, „Mathematische Annalen”, 79 (1918), s. 157–179.
  2. Edward Szpilrajn, La dimension et la mesure, Fund. Math., 28 (1937), 81-89.
  3. Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156-162.
  4. Witold Hurewicz, Henry Wallman, Dimension Theory, 1941.
  5. Witold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква.
  6. D. Saupe, H. Jürgens, H.-O. Peitgen, Fraktale – granice chaosu, PWN, Warszawa 1995, t. I, s. 273–295.
  7. Jacek Kudrewicz, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 2007, wydanie czwarte, s. 58–61.
  8. Gerald Egdar, Measure, topology and fractal geometry, Springer-Verlag, 1990.