Wymiar Hausdorffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa.

Definicja[edytuj]

Niech s  > 0. Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru określamy miarę zewnętrzną

,

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów , które pokrywają i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej .

Gdy maleje, to rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa[1] (dla wykładnika s):

.

Łatwo sprawdzić, że:

  •     dla każdego ;
  •     dla każdego .

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

.

Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny[edytuj]

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)  [2]  udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)  [3] wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez log(ε).

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry'ego Wallmana [4]; patrz też rosyjskie tłumaczenie [5], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

Praktyczna metoda wyznaczania[edytuj]

Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudne[6]. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzenia[7][8]:

Niech będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań , będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa . Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego zachodzi . Wtedy wymiar Hausdorffa jest równy liczbie r będącej rozwiązaniem równania:

Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary :




Przykład: dywan Sierpińskiego:

Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa . Wtedy rozwiązaniem równania

jest

Dla kostki Mengera będzie to więc , dla piramidy Sierpińskiego , a dla zbioru Cantora .

Przypisy

  1. F. Hausdorff, Mathematische Annalen, 79 (1918), s. 157-179
  2. Szpilrajn, La dimension et la mesure, Fund. math., 28 (1937), 81-89
  3. Об одном метрическом свойстве размерности, Annals of Mathematics 33 (1932), 156-162
  4. Witold Hurewicz, Henry Wallman, Dimension Theory, 1941
  5. Witold Hurewicz i Henry Wallman, Теория Размерности, И*Л, 1948, Μοсква
  6. Saupe D., Jürgens H., Peitgen H.-O.,Fraktale - granice chaosu, PWN, Warszawa 1995, t.I, ss. 273-295
  7. Kudrewicz Jacek, Fraktale i chaos, WNT, Warszawa 2007, wydanie czwarte, ss. 58-61
  8. Egdar Gerald, Measure, Topology and Fractal Geometry, Springer-Verlag, 1990