Wzór Herona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Trójkąt o bokach a, b i c

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości a, b, c jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, w którego Metryce jest podany.

Niech oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi:

Wzór Herona może zostać wykorzystany do obliczeń, nawet jeżeli odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. W sytuacji, gdy wszystkie trzy odcinki i wszystkie trzy łączące je punkty leżą na jednej prostej, zachodzi równość , więc wyrażenie jest równe , co powoduje, że .

Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny, tzn. , to wartość , co sprawia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, a więc .

Dowód[edytuj]

W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta:

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta .

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych otrzymujemy:




oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:









Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.

Postać wyznacznikowa[edytuj]

Wzór Brahmagupty[edytuj]

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości wpisanego w okrąg:

,

gdzie

oznacza połowę obwodu czworokąta.

Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

,

gdzie to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg suma tych kątów jest równa i wynosi 180°.

Linki zewnętrzne[edytuj]