Trójkąt o bokach
a ,
b i
c Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta , jeśli znane są długości a , b , c jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi , a jego nazwa pochodzi od Herona , w którego Metryce jest podany.
Niech
p
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c)}
S wynosi:
S
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
4
.
{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}}.}
Wzór Herona może zostać wykorzystany do obliczeń, nawet jeżeli odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. W sytuacji, gdy wszystkie trzy odcinki i wszystkie trzy łączące je punkty leżą na jednej prostej, zachodzi równość
a
+
b
=
c
,
{\displaystyle a+b=c,}
p
−
c
{\displaystyle p-c}
0
,
{\displaystyle 0,}
S
=
0.
{\displaystyle S=0.}
Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny , tzn.
a
+
b
<
c
,
{\displaystyle a+b<c,}
p
−
c
<
0
,
{\displaystyle p-c<0,}
S
∉
R
.
{\displaystyle S\notin \mathbb {R} .}
W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta
S
=
1
2
b
c
sin
α
.
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\ bc\sin {\alpha }.}
W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów , wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta
α
{\displaystyle \alpha }
cos
2
α
=
(
a
2
−
b
2
−
c
2
−
2
b
c
)
2
=
(
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
)
2
.
{\displaystyle \cos ^{2}{\alpha }=\left({\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc}}\right)^{2}=\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)^{2}.}
Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych, otrzymujemy:
sin
2
α
=
1
−
cos
2
α
=
1
−
(
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
)
2
=
(
1
+
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
)
(
1
−
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
)
=
2
b
c
+
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
⋅
2
b
c
−
b
2
−
c
2
+
a
2
2
b
c
=
(
b
+
c
)
2
−
a
2
2
b
c
⋅
a
2
−
(
b
−
c
)
2
2
b
c
=
(
b
+
c
+
a
)
(
b
+
c
−
a
)
2
b
c
⋅
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
2
b
c
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}{\alpha }&=1-\cos ^{2}{\alpha }\\&=1-\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)^{2}\\&=\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)\\&={\frac {2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\cdot {\frac {2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2bc}}\\&={\frac {(b+c)^{2}-a^{2}}{2bc}}\cdot {\frac {a^{2}-(b-c)^{2}}{2bc}}\\&={\frac {(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}}\cdot {\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}}\end{aligned}}}
p
{\displaystyle p}
b
+
c
+
a
=
2
p
{\displaystyle b+c+a=2p}
a
+
b
−
c
=
2
p
−
2
c
=
2
(
p
−
c
)
{\displaystyle a+b-c=2p-2c=2(p-c)}
a
−
b
+
c
=
2
p
−
2
b
=
2
(
p
−
b
)
{\displaystyle a-b+c=2p-2b=2(p-b)}
b
+
c
−
a
=
2
p
−
2
a
=
2
(
p
−
a
)
{\displaystyle b+c-a=2p-2a=2(p-a)}
sin
2
α
=
2
p
⋅
2
(
p
−
a
)
2
b
c
⋅
2
(
p
−
c
)
⋅
2
(
p
−
b
)
2
b
c
=
4
b
2
c
2
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle \sin ^{2}{\alpha }={\frac {2p\cdot 2(p-a)}{2bc}}\cdot {\frac {2(p-c)\cdot 2(p-b)}{2bc}}={\frac {4}{b^{2}c^{2}}}\ p(p-a)(p-b)(p-c)}
sin
α
=
2
b
c
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle \sin {\alpha }={\frac {2}{bc}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.
S
=
1
2
b
c
sin
α
=
p
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\ bc\sin {\alpha }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
S
=
(
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
4
=
1
4
−
|
0
1
1
1
1
0
a
2
b
2
1
a
2
0
c
2
1
b
2
c
2
0
|
{\displaystyle S={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}}
Wzór na pole z wykorzystaniem wysokości [ edytuj | edytuj kod ] Jeśli
h
a
,
h
b
,
h
c
{\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}}
a
,
b
,
c
,
{\displaystyle a,b,c,}
a
=
2
S
h
a
,
b
=
2
S
h
b
,
c
=
2
S
h
c
.
{\displaystyle a={\frac {2S}{h_{a}}},b={\frac {2S}{h_{b}}},c={\frac {2S}{h_{c}}}.}
S
=
1
(
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
)
(
1
h
a
+
1
h
b
−
1
h
c
)
(
1
h
a
−
1
h
b
+
1
h
c
)
(
−
1
h
a
+
1
h
b
+
1
h
c
)
{\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}})({\frac {1}{h_{a}}}-{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})(-{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})}}}}
Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
,
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},}
gdzie:
p
=
1
2
(
a
+
b
+
c
+
d
)
{\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)}
oznacza połowę obwodu czworokąta.
Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:
S
=
(
p
−
a
)
(
p
−
b
)
(
p
−
c
)
(
p
−
d
)
−
a
b
c
d
⋅
cos
2
θ
,
{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\theta }},}
gdzie
θ
{\displaystyle \theta }
