Trójkąt o bokach
a,
b i
c
Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości a, b, c jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, który podał go w swojej Metryce.
Niech
oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi[1]:

Wzór Herona może zostać wykorzystany do obliczeń, nawet jeżeli odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. W sytuacji, gdy wszystkie trzy odcinki i wszystkie trzy łączące je punkty leżą na jednej prostej, na przykład, gdy zachodzi równość
więc wyrażenie
jest równe
co powoduje, że
Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny, tzn.
to wartość
co sprawia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, a więc
W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych, otrzymujemy:

oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:






Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.


Wzór na pole z wykorzystaniem wysokości[edytuj | edytuj kod]
Jeśli
są wysokościami trójkąta o bokach odpowiednio
to
Po podstawieniu tych wzorów do wzoru Herona i prostych przekształceniach otrzymujemy:

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości
wpisanego w okrąg:

gdzie:

oznacza połowę obwodu czworokąta.
Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

gdzie
to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg suma tych kątów jest równa i wynosi 180°.