Wzór Herona

Trójkąt o bokach a, b i c

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości a, b, c jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, w którego Metryce jest podany.

Niech $p={\frac {1}{2}}(a+b+c)$$p={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}}$$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\frac {{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}}{4}}$

Wzór Herona może zostać wykorzystany do obliczeń, nawet jeżeli odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. W sytuacji, gdy wszystkie trzy odcinki i wszystkie trzy łączące je punkty leżą na jednej prostej, zachodzi równość $a+b=c$$a+b=c$, więc wyrażenie $p-c$$p-c$ jest równe $0$$0$, co powoduje, że $S=0$$S=0$.

Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny, tzn. $a+b<c$$a+b<c$, to wartość $p-c<0$$p-c<0$, co sprawia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, a więc $S\not \in \mathbb {R}$$S\not \in {\mathbb {R}}$.

Dowód

W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta:

$S={\frac {1}{2}}\ bc\sin {\alpha }$$S={\frac {1}{2}}\ bc\sin {\alpha }$

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta $\alpha$$\alpha$.

$\cos ^{2}{\alpha }=\left({\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc}}\right)^{2}=\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)^{2}$$\cos ^{2}{\alpha }=\left({\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc}}\right)^{2}=\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)^{2}$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych otrzymujemy:

$\sin ^{2}{\alpha }=1-\cos ^{2}{\alpha }=1-\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)^{2}=$$\sin ^{2}{\alpha }=1-\cos ^{2}{\alpha }=1-\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)^{2}=$
$=\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)=$$=\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)=$
$={\frac {2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\cdot {\frac {2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2bc}}={\frac {(b+c)^{2}-a^{2}}{2bc}}\cdot {\frac {a^{2}-(b-c)^{2}}{2bc}}=$$={\frac {2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\cdot {\frac {2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2bc}}={\frac {(b+c)^{2}-a^{2}}{2bc}}\cdot {\frac {a^{2}-(b-c)^{2}}{2bc}}=$
$={\frac {(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}}\cdot {\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}}$$={\frac {(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}}\cdot {\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}}$

$p\,$$p\,$ oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:

$b+c+a=2p\,$$b+c+a=2p\,$
$a+b-c=2p-2c=2(p-c)\,$$a+b-c=2p-2c=2(p-c)\,$
$a-b+c=2p-2b=2(p-b)\,$$a-b+c=2p-2b=2(p-b)\,$
$b+c-a=2p-2a=2(p-a)\,$$b+c-a=2p-2a=2(p-a)\,$

$\sin ^{2}{\alpha }={\frac {2p\cdot 2(p-a)}{2bc}}\cdot {\frac {2(p-c)\cdot 2(p-b)}{2bc}}={\frac {4}{b^{2}c^{2}}}\ p(p-a)(p-b)(p-c)$$\sin ^{2}{\alpha }={\frac {2p\cdot 2(p-a)}{2bc}}\cdot {\frac {2(p-c)\cdot 2(p-b)}{2bc}}={\frac {4}{b^{2}c^{2}}}\ p(p-a)(p-b)(p-c)$
$\sin {\alpha }={\frac {2}{bc}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$\sin {\alpha }={\frac {2}{bc}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.

$S={\frac {1}{2}}\ bc\sin {\alpha }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$S={\frac {1}{2}}\ bc\sin {\alpha }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Postać wyznacznikowa

$S={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}$$S={\frac {{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}}{4}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}$

Wzór Brahmagupty

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości $a,\,b,\,c,\,d$$a,\,b,\,c,\,d$ wpisanego w okrąg:

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$,

gdzie

$p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)$$p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)$

oznacza połowę obwodu czworokąta.

Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\theta }}$$S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\theta }}$,

gdzie $\theta$$\theta$ to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg suma tych kątów jest równa i wynosi 180°.

Linki zewnętrzne

• Wzór Herona (ang.) w encyklopedii MathWorld
• Wzór Brahmagupty (ang.) w encyklopedii MathWorld