Wzór Panjera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wzór Panjera – wzór rekurencyjny wprowadzony w 1981 roku przez Harry'ego Panjera[1] (a następnie uogólniony przez Bjørna Sundta i Williama S. Jewella), służący do dokładnego wyznaczania rozkładu łącznej wartości szkód w modelu ryzyka łącznego (zakładającego iż łączna wartość szkód jest sumą szkód będących parami niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa oraz których liczba jest zmienną losową niezależną względem każdej ze szkód).

Wzór Panjera[edytuj]

Oznaczenia[edytuj]

  • prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia
  • dla j=0,1,2...
  • dla n=0,1,2...
  • dla nielosowej liczby składników .

Założenia[edytuj]

  • w przypadku, gdy ,
  • są zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa
  • parami niezależne
  • są niezależne od .
  • dla dostatecznie dużych , tzn. dla , gdzie jest pewną liczbą naturalną.

Wzór rekurencyjny[edytuj]

Klasy rozkładów spełniających założenia wzoru[edytuj]

 Osobny artykuł: Rozkład Panjera.

Klasa rozkładów liczby szkód, spełniających założenia wzoru Panjera z nazywana jest klasą Panjera, a z klasą Sundta-Jewella[2]. Zgodnie z założeniami pierwszych prawdopodobieństw w rozkładach spełniających założenia wzoru Panjera może być dowolne. Rozkłady, dla których , to (w nawiasie podano zakresy wartości występujących w założeniu parametrów i ):

  • rozkład Poissona (gdy , )
  • rozkład dwumianowy (gdy , , )
  • rozkład ujemny dwumianowy (gdy , )
  • rozkład zdegenerowany (gdy )

Zastosowania[edytuj]

Wzór Panjera określa rozkład prawdopodobieństwa w przypadku dyskretnym. Możliwe jest jednak zastosowanie wzoru w przypadku ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa pojedynczej szkody. Niezbędna jest jednak wówczas dyskretyzacja takiego rozkładu.

Przypisy

  1. Harry H. Panjer. Recursive evaluation of a family of compound distributions.. „ASTIN Bulletin”. 12/1, s. 22–26, 1981. International Actuarial Association (ang.). 
  2. Harry H. Panjer. Sundt and Jewell Class of Distributions. „Encyclopedia of Actuarial Science”, 2006-09-15. John Wiley & Sons, Ltd.. DOI: 10.1002/9780470012505.tas040. 

Bibliografia[edytuj]

  • Newton L. Bowers, Hans U. Gerber, J.C. Hickman, D.A. Jones, C.J. Nesbit: Actuarial mathematics. Itasca, Ill.: Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7. (ang.)
  • Wojciech Otto: Ubezpieczenia majątkowe. Wyd. 1. Cz. I: Teoria ryzyka. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2004, seria: Matematyka w ubezpieczeniach. ISBN 83-204-2887-4. (pol.)