Rozkład dwumianowy

Rozkład dwumianowy

Funkcja masy prawdopodobieństwa
Dystrybuanta Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry	$n\geqslant 0$ liczba prób (liczba całkowita) $0\leqslant p\leqslant 1$ prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Nośnik	$k\in \{0,\dots ,n\}$
Funkcja masy prawdopodobieństwa	${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$
Dystrybuanta	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
Wartość oczekiwana (średnia)	$np$
Mediana	jedna z $\{\lfloor np\rfloor -1,{}$$\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}$
Moda	$\lfloor (n+1)\,p\rfloor$
Wariancja	$np(1-p)$
Współczynnik skośności	${\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}$
Kurtoza	${\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}$
Entropia	${\frac {1}{2}}\ln(2\pi nep(1-p))\,{}$${}+O\left({\frac {1}{n}}\right)$
Funkcja tworząca momenty	$(1-p+pe^{t})^{n}$
Funkcja charakterystyczna	$(1-p+pe^{it})^{n}$
Odkrywca	Jakob Bernoulli

Rozkład dwumianowy – dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący prawdopodobieństwo uzyskania $k$ sukcesów oraz $n-k$ porażek w trakcie $n$ niezależnych eksperymentów (nazywanych próbami Bernoulliego), przy czym w każdej pojedynczej próbie prawdopodobieństwo sukcesu równe jest $p$, a prawdopodobieństwo porażki $1-p$.

Rozkład dwumianowy nazywany jest w Polsce często rozkładem Bernoulliego, jednak w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego.

Rozkład dwumianowy może służyć do opisu liczby sukcesów w próbie o liczebności $n$, losowanej z populacji o liczebności $N$ składającej się z dwóch rodzajów elementów: sukcesów i porażek. Zakłada się przy tym, że losowanie odbywa się ze zwracaniem, dzięki czemu kolejne losowania są niezależne. Jeżeli natomiast losowanie przeprowadzane jest bez zwracania, to kolejne obserwacje nie są niezależne, a liczba sukcesów w próbie ma rozkład hipergeometryczny, a nie dwumianowy. W praktyce jednak, gdy liczebność populacji N jest dużo większa od liczebności próby n, zależności między losowaniami stają się pomijalne i rozkład dwumianowy stanowi bardzo dobre przybliżenie rozkładu hipergeometrycznego.

Funkcja masy prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo otrzymania k sukcesów w $n$ niezależnych próbach Bernoulliego, gdy prawdopodobieństwo wystąpienia sukcesu w pojedynczej próbie wynosi $p$, dane jest przez funkcję masy prawdopodobieństwa za pomocą wzoru:

$f(k,n,p)=\Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$ dla $k=0,1,2,\dots n$,

gdzie:

• $n$ – liczba naturalna
• $0\leqslant p\leqslant 1$
• ${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ – symbol Newtona (współczynnik dwumianowy)

Uzasadnienie wzoru

Powyższy wzór na funkcję masy prawdopodobieństwa można uzasadnić następująco:

a) Człon ${\textstyle p^{k}(1-p)^{n-k}}$ określa prawdopodobieństwo otrzymania w ciągu ${\textstyle n}$ niezależnych prób Bernoulliego dokładnie ${\textstyle k}$ sukcesów oraz ${\textstyle n-k}$ porażek w ustalonej kolejności.

b) Ponieważ próby są niezależne, każdy ciąg $n$ prób zawierający $k$ sukcesów ma takie samo prawdopodobieństwo, niezależnie od położenia sukcesów w ciągu. Takich ciągów jest ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ – współczynnik dwumianowy ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ zlicza liczbę sposobów uzyskania ${\textstyle k}$ sukcesów w n próbach.

c) Rozkład dwumianowy opisuje prawdopodobieństwo uzyskania dowolnego z tych ciągów, dlatego prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie $k$ sukcesów jest sumą prawdopodobieństw wszystkich takich ciągów. Stąd ${\textstyle \Pr(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$.

Oznaczenia

Jeżeli zmienna losowa $X$ ma rozkład dwumianowy z parametrami $n,p$, to piszemy:

$X\sim \mathrm {B} (n,p)$

Przykład

Załóżmy, że rzucamy niesymetryczną monetą, w której reszka pojawia się z prawdopodobieństwem 0,3. Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 4 reszek w 6 rzutach wynosi

$f(k=4;n=6;p=0{,}3)={\binom {6}{4}}0{,}3^{4}(1-0{,}3)^{6-4}=0{,}059535$

Suma rozkładów dwumianowych

Jeśli $X\sim \mathrm {B} (n,p)$ oraz $Y\sim \mathrm {B} (m,p)$ są dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach dwumianowych, wtedy ich suma $X+Y$ jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z $n+m$ próbami i $p$ – prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie, czyli

$X+Y\sim \mathrm {B} (n+m,p)$

Przybliżenia rozkładu dwumianowego

Obliczanie rozkładu dwumianowego może nastręczać trudności dla dużych wartości $n$. W zależności od wartości parametrów $n,p$rozkład dwumianowy można przybliżać innymi rozkładami, które są łatwiejsze do obliczeń

Przybliżenie rozkładem normalnym

Jeśli $np>5$ oraz $n(1-p)>5$ , to rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem normalnym $N(\mu ,\sigma ^{2})$ takim że:

$\mu =np$

$\sigma ^{2}=np(1-p)$

gdzie $\mu$ – wartość oczekiwana rozkładu normalnego, $\sigma ^{2}$ – wariancja rozkładu normalnego

Przybliżenie rozkładem Poissona

Jeśli $n$ jest duże, a $p$ jest małe (czyli $np$ ma umiarkowanie dużą wartość), dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego jest rozkład Poissona z parametrem $\lambda =np.$

Zobacz też

• rozkład Dirichleta
• ujemny rozkład dwumianowy

Bibliografia

• Lech. T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, rozdział V Ważniejsze rozkłady zmiennych losowych, str. 167; rozdział VI. Twierdzenia graniczne związane z rozkładem dwumianowym, str. 193-215
• George Udny Yule: An Introduction to the Theory of Statistics. Londyn: Griffin, 1911. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Piotr Stachura, Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego, kanał Khan Academy na YouTube, 3 sierpnia 2025 [dostęp 2025-10-27].
• Binomial distribution (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].