Rozkład dwumianowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Rozkład dwumianowy
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa
Funkcja masy prawdopodobieństwa dla rozkładu dwumianowego
Dystrybuanta
Dystrybuanta rozkładu dwumianowego
Kolory odpowiadają wykresowi powyżej
Parametry n \geqslant 0 liczba prób (liczba całkowita)
0\leqslant p \leqslant 1 prawdopodobieństwo sukcesu (liczba rzeczywista)
Nośnik k \in \{0,\dots,n\}\!
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \!
Dystrybuanta I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!
Wartość oczekiwana (średnia) np\!
Mediana jedna z \{\lfloor np\rfloor-1,\ \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}
Moda \lfloor (n+1)\,p\rfloor\!
Wariancja np(1-p)\!
Współczynnik skośności \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}\!
Kurtoza \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!
Entropia \frac{1}{2} \ln \left( 2 \pi n e p (1-p) \right)+ O \left( \frac{1}{n} \right)
Funkcja generująca momenty (1-p + pe^t)^n \!
Funkcja charakterystyczna (1-p + pe^{it})^n \!
Odkrywca George Udny Yule (1911)

Rozkład dwumianowy (w Polsce zwany też rozkładem Bernoulliego, choć w krajach anglojęzycznych termin Bernoulli distribution odnosi się do rozkładu zero-jedynkowego) to dyskretny rozkład prawdopodobieństwa opisujący liczbę sukcesów k w ciągu N niezależnych prób, z których każda ma stałe prawdopodobieństwo sukcesu równe p. Pojedynczy eksperyment nosi nazwę próby Bernoulliego.

Innym rozkładem, który opisuje ilość sukcesów w ciągu N prób, jest rozkład hipergeometryczny. W tym przypadku jednak próby nie są niezależne (próba bez zwracania).

Jeśli X ~ B(n, p) i Y ~ B(m, p) są dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie dwumianowym, wtedy ich suma X + Y jest zmienną losową o rozkładzie dwumianowym danym wzorem:

 B\left(n+m, p\right).

W zależności od wartości parametrów rozkład dwumianowy można przybliżać innymi rozkładami:

  • Jeśli zarówno np, jak i n(1 − p) są większe od 5, wtedy rozkład dwumianowy można przybliżać rozkładem normalnym:
 N\left(np, \sqrt {np\left(1-p\right)}\right).
  • Jeśli n jest duże, a p jest małe (czyli np ma umiarkowanie dużą wartość), dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego jest rozkład Poissona z parametrem λ = np.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Rozkład po raz pierwszy wprowadzony w pracy:
George Udny Yule: An Introduction to the Theory of Statistics. Londyn: Griffin, 1911.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]