Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy podstawowego twierdzenia Cauchy’ego. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy’ego.

Twierdzenie podstawowe Cauchy’egotwierdzenie analizy zespolonej orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego, który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Czasami twierdzenie to jest nazywane twierdzeniem Cauchy’ego o całce krzywoliniowej albo twierdzeniem całkowym Cauchy’ego.

Twierdzenie[edytuj]

Przypuśćmy, że jest obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą . Niech będzie funkcją analityczną na obszarze , takim że . Wówczas

Wnioski[edytuj]

.

Zatem możemy zdefiniować całkę

(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).

  • Dla jak powyżej określmy funkcję przez
.

Wówczas funkcja jest analityczna oraz

  • Niech będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym z wyjątkiem punktów oraz niech będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią , taką że okręgi o środku w i promieniu r (dla ) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio.)

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]