Twierdzenie podstawowe Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy podstawowego twierdzenia Cauchy’ego. Zobacz też: inne twierdzenia Cauchy’ego.

Twierdzenie podstawowe Cauchy’egotwierdzenie analizy zespolonej orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zero. Twierdzenie to było sformułowane i udowodnione przez Augustina Cauchy’ego który wyprowadził z niego szereg podstawowych własności funkcji analitycznych.

Czasami twierdzenie to jest nazywane twierdzeniem Cauchy’ego o całce krzywoliniowej albo twierdzeniem całkowym Cauchy’ego.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że D\subseteq {\mathbb C} jest obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej {\mathbb C} ograniczonym przedziałami gładką krzywą zamkniętą C. Niech f:U\longrightarrow {\mathbb C} będzie funkcją analityczną na obszarze U, takim że D\cup C\subseteq U. Wówczas

\int_C f(z)\; dz=0

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

\int_{C_1} f(z)\; dz=\int_{C_2} f(z)\; dz.

Zatem możemy zdefiniować całkę

\int_a^b f(z)\; dz

(tzn. nie zależy ona od drogi całkowania).

  • Dla D,f,a jak powyżej określmy funkcję \Phi:D\longrightarrow {\mathbb C} przez
\Phi(z)=\int_a^z f(\zeta)\;d\zeta.

Wówczas funkcja \Phi jest analityczna oraz \Phi'(z)=f(z)

  • Niech f(z) będzie funkcją analityczną w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów z_{1}, z_{2}, ... , z_{n} oraz niech C \subset D będzie kawałkami gładką krzywą Jordana otaczającą wszystkie punkty z_{1}, z_{2}, ... , z_{n} (tzn. punkty te leżą we wnętrzu obszaru ograniczonego krzywą C). Wybierzmy liczbę dodatnią r>0, taką że okręgi K(z_i,r) o środku w z_i i promieniu r (dla i=1,\ldots,n) nie przecinają się i nie przecinają krzywej. Wówczas
\oint\limits_{C^{+}} f(z)dz= \sum_{i=1}^n \oint\limits_{K(z_{i},r)} f(z)dz

(Całki powyżej są po krzywych skierowanych dodatnio.)

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]