Zbiór ekstremalnie niemierzalny
Zbiór ekstremalnie niemierzalny – patologiczny w sensie miary podzbiór przestrzeni euklidesowej (dowolnego wymiaru). Definiuje się go jako taki zbiór, który sam ani jego dopełnienie nie zawiera podzbioru mierzalnego o dodatniej mierze Lebesgue’a; równoważnie: miara wewnętrzna Lebesgue’a tego zbioru i jego dopełnienia jest równa zeru.
Niemierzalność[edytuj | edytuj kod]
Zbiór ekstremalnie niemierzalny jest niemierzalny. Istotnie, założenie, że jest mierzalny, pociągałoby mierzalność z definicji zarówno jak i byłyby wtedy zbiorami miary Lebesgue’a zero, co oznaczałoby, że cała przestrzeń euklidesowa byłaby zbiorem miary Lebesgue’a zero.
Przykłady[edytuj | edytuj kod]
- Niech będzie liczbą niewymierną, zaś oraz Relacja zdefiniowana wzorem jest relacją równoważności na prostej. Niech będzie zbiorem zawierającym po jednym elemencie z każdej klasy abstrakcji relacji Wówczas zbiór jest ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem prostej.
- Niech będzie nieciągłą funkcją addytywną. Zbiór dla dowolnych jest wtedy ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem przestrzeni
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Marek Kuczma: An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities: Cauchy’s Equation and Jensen’s Inequality, second edition. Basel: Bikrhauser, 2009. ISBN 978-3-7643-8748-8.