Aksjomat wyboru

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Dla każdej rodziny niepustych zbiorów (słoików) istnieje funkcja, przypisująca elementom z tych zbiorów (słoików) po jednym elementcie w pewnym zbiorze (słoiku).
(Si) jest rodziną zbiorów indeksowaną za pomocą liczb rzeczywistych R, tzn. dla każdej liczby rzeczywistej i istnieje jakiś zbiór Si; kilka takich zbiorów pokazano powyżej. Każdy taki zbiór posiada przynajmniej jeden element, choć może ich mieć dowolnie wiele. Aksjomat wyboru pozwala dowolnie wybrać po jednym elemencie z każdego zbioru, aby utworzyć rodzinę elementów (xi) indeksowanych za pomocą liczb rzeczywistych, gdzie xi wybrano z Si. W ogólności, rodzina może być indeksowana za pomocą liczb należących do dowolnego zbioru I, niekoniecznie do R.

Aksjomat wyboru, pewnik wyboru, AC (ang. axiom of choice;) – aksjomat teorii mnogości gwarantujący istnienie zbioru (nazywanego selektorem) zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do danej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych.

Aksjomat AC jest niezależny od powszechnie przyjmowanych aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkela (ZF). Teorie mnogości oparte o aksjomaty ZF oraz aksjomat AC oznacza się zwykle skrótem ZFC. Można również rozważać teorie mnogości oparte na ZF, w których przyjęto negację AC.

Większość matematyków uznaje i stosuje AC, jednak w dowodach twierdzeń zazwyczaj wyraźnie zaznacza się, gdy zakłada się AC. Dowody te nazywa się nieefektywnymi; zwykle są one także niekonstruktywne, gdy mówią jedynie o istnieniu danego obiektu, jednak nie wskazują go (nie podają konstrukcji; por. intuicjonizm).

W przypadku rodzin zbiorów skończonych aksjomat wyboru jest trywialny (tzn. wynika z innych aksjomatów). W przypadku rodzin zbiorów nieskończonych aksjomat AC również wydaje się intuicyjny. Jednak jego konsekwencje bywają zaskakujące. Np. Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli (kulę z trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej można rozłożyć na sześć części, a następnie z tych części można złożyć, korzystając wyłącznie z obrotów i przesunięć, dwie kule identyczne jak kula wyjściowa).

Definicja formalna[edytuj]

Aksjomat wyboru podawany jest zwykle w następującej postaci:

Dla każdej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych istnieje zbiór (tzw. selektor), do którego należy dokładnie po jednym elemencie z każdego ze zbiorów należących do rodziny

Twierdzenia równoważne[edytuj]

Wśród ważnych twierdzeń równoważnych aksjomatowi wyboru można wymienić następujące wyniki teorii mnogości:

  • Twierdzenie Tarskiego: Iloczyn kartezjański dowolnej rodziny zbiorów niepustych jest niepusty.
    Elementami iloczynu kartezjańskiego rodziny niepustych zbiorów są wszystkie funkcje spełniające warunek dla każdego gdzie jest ustalonym zbiorem indeksów. Teza twierdzenia Tarskiego brzmi: istnieje chociaż jedna taka funkcja .
  • Twierdzenie Hessenberga: Każdy zbiór nieskończony jest równoliczny ze swoim kwadratem kartezjańskim, tj.
  • Prawo trychotomii: Dla dowolnych zbiorów zachodzi albo albo
  • Twierdzenie Königa: Jeśli dla dowolnych liczb kardynalnych spełniona jest nierówność to gdzie przebiega zbiór indeksów
  • Lemat Teichmüllera-Tukeya: Niech będzie własnością skończonego charakteru, mogącą przysługiwać podzbiorom pewnego zbioru każdy podzbiór tego zbioru mający wspomnianą własność jest zawarty w maksymalnym (ze względu na zawieranie) podzbiorze mającym własność
  • Twierdzenie Zermelo: każdy zbiór można dobrze uporządkować.
  • Lemat Kuratowskiego-Zorna: w dowolnym niepustym zbiorze częściowo uporządkowanym, w którym każdy podzbiór liniowo uporządkowany ma ograniczenie górne, istnieje (co najmniej jeden) element maksymalny;
  • Twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym: każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany zawiera maksymalny (w sensie zawierania) podzbiór liniowo uporządkowany.

Twierdzenia słabsze[edytuj]

Czasami matematycy asekurując się przed paradoksalnymi następstwami zakładania aksjomatu wyboru ograniczają się do jego słabszych, nierównoważnych wersji. W wielu zastosowaniach są one wystarczające i, nierzadko, wygodniejsze. Część z nich jest podobna do samego aksjomatu wyboru: niektóre ograniczają tylko rozważane rodziny niepustych zbiorów, np. do skończonych (ACF), inne zakładają z kolei, że funkcja wyboru wybiera podzbiór każdego danego niepustego zbioru zamiast elementu.

  • Zasada wyboru
    (skr. SP od ang. Selection Principle)
    Dla każdego zbioru istnieje funkcja przyporządkowująca każdemu, co najmniej dwuelementowemu podzbiorowi zbioru pewien niepusty, właściwy podzbiór zbioru
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów dających się dobrze uporządkować
    (skr. ACWO od ang. Axiom of Choice for Well Orderable sets)
    Dla każdego zbioru istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element każdemu niepustemu podzbiorowi zbioru dającemu się dobrze uporządkować.
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów skończonych
    (skr. ACF od ang. Axiom of Choice for Finite sets)
    Dla każdego zbioru istnieje funkcja przyporządkowująca dokładnie jeden element każdemu niepustemu, skończonemu podzbiorowi zbioru
  • Aksjomat wyboru dla zbiorów n-elementowych
    (skr. Cn od ang. axiom of Choice for finite sets of n elements)
    Dla każdego zbioru istnieje funkcja wybierająca po jednym elemencie z każdego -elementowego podzbioru zbioru
  • Przeliczalny aksjomat wyboru
    (skr. CAC od ang. Countable Axiom of Choice albo ACω)
    Dla każdej przeliczalnej rodziny zbiorów istnieje funkcja wyboru.

Inne wersje wynikają z aksjomatu wyboru, ale mają całkowicie od niego odmienną postać:

  • Aksjomat liniowego uporządkowania
    (skr. OP od ang. Ordering Principle)
    Każdy zbiór da się uporządkować liniowo.
  • Aksjomat podziału[1]
    (skr. PP od ang. Partition Principle)
    Każdy zbiór nieskończony da się podzielić na dwa nieskończone, rozłączne zbiory.
  • Zasada wyborów zależnych[2]
    (skr. PDC albo DC od ang. Principle of Dependent Choices)
    Jeśli jest taką relacją na niepustym zbiorze że dla dowolnego istnieje spełniający to istnieje ciąg dla którego dla

Prawdziwe są następujące ciągi implikacji:

ACPDCCAC
ACSPOPACF ⇒ ∀n CnCmPP
ACBPIOP
ACACWOACF

Przykłady zastosowań aksjomatu[edytuj]

Aksjomat wyboru (często w postaci lematu Kuratowskiego-Zorna) pojawia się w dowodach różnych wyników spoza teorii mnogości, choć często potrzebna jest jedynie jego słabsza wersja, np.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  • Omar De La Cruz, Carlos Augusto Di Prisco: Weak forms of the axiom of choice and partitions of infinite sets. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998.
  • Thomas Jech: The Axiom of Choice. Amsterdam: North Holland, 1973.
  • Bell, John L., "The Axiom of Choice", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2015 Edition), Edward N. Zalta (ed.), http://plato.stanford.edu/entries/axiom-choice/

Przypisy

  1. Aksjomat ten jest bardzo słaby: na przykład nie można przy jego założeniu udowodnić, że każdy nieskończony zbiór da się podzielić na nieskończenie wiele nieskończonych rozłącznych zbiorów.
  2. Już podstawowe twierdzenia w analizie i teorii miary potrzebują założenia PDC albo przynajmniej CC (np. aby udowodnić, że zbiór liczb rzeczywistych nie jest sumą przeliczalnej rodziny zbiorów miary zero). Istnienie zbiorów niemierzalnych nie wynika z aksjomatów ZF + PDC, czyli układ ZF + PDC + „każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest mierzalny” jest niesprzeczny.
  3. Ten aksjomat wystarczy, aby udowodnić np. twierdzenie o zwartości, twierdzenie Hahna-Banacha, istnienie zbiorów niemierzalnych, czy twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa.
  4. Do udowodnienia wystarcza przeliczalny aksjomat wyboru CAC.
  5. Do udowodnienia wystarcza jedna ze słabszych wersji aksjomatu wyboru.
  6. Wymaga jedynie BPI.
  7. Do dowodu wystarcza słabsza wersja aksjomatu wyboru; wraz z BPI twierdzenie pociąga AC.
  8. Produktowane przestrzenie nie muszą być Hausdorffa; jeśli są, to do dowodu wystarczy wtedy BPI.