Słaba homotopijna równoważność

Słaba homotopijna równoważność - odwzorowanie ciągłe między przestrzeniami topologicznymi indukujące izomorfizm grup homotopii.

Formalna definicja

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe $f:X\to Y$ nazywamy słabą homotopijną równoważnością jeżeli $f$ indukuje bijekcję między składowymi łukowymi przestrzeni $X$ i przestrzeni $Y$ oraz dla wszystkich $x_{0}\in X$, $n\geqslant 1$ homomorfizm indukowany $f_{*}:\pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(Y,f(x_{0}))$ jest izomorfizmem, gdzie $\pi _{n}(X,x_{0})$ oznacza $n$-tą grupę homotopii zaczepioną w punkcie $x_{0}$.

Własności

• Każda homotopijna równoważność jest słabą homotopijną równoważnością.
• Złożenie słabych homotopijnych równoważności jest słabą homotopijną równoważnością.
• Słaba homotopijna równoważność między CW-kompleksami jest homotopijną równoważnością. Jest to treść twierdzenia Whiteheada.
• Przekształcenie homotopijne ze słabą homotopijną równoważnością jest słabą homotopiją równoważnością.
• Z istnienia słabej homotopopijnej równoważności $X\to Y$ nie wynika istnienie słabej homotopijnej równoważności $Y\to X$.

Przykłady

• Jeżeli przestrzenie $X$ oraz $Y$ są ściągalne, to każde odwzorowanie $X\to Y$ jest słabą homotopijną równoważnością.
• Niech $X=\{a,b,c,d\}$ oraz $\tau =\{\emptyset ,\{a\},\{c\},\{a,b,c\},\{a,d,c\},X\}$. Para $(X,\tau )$ jest skończoną przestrzenią topologiczną mającą dwa zbiory jednopunktowe otwarte i dwa domknięte. Jeżeli na sferze $\mathbb {S} ^{1}$ wybierzemy dwa różne punkty $x,y$ to $\mathbb {S} ^{1}\setminus \{x,y\}$ jest sumą dwu rozłącznych zbiorów otwartych $U_{1},U_{2}$. Każde przekształcenie $f:\mathbb {S} ^{1}\to X$ takie, że $f(x)=b,f(y)=d,f(U_{1})=\{a\},f(U_{2})=\{c\}$ jest słabą homotopijną równoważnością. Warto zauważyć, że dowolne odwzorowanie ciągłe $X\to \mathbb {S} ^{1}$ musi być stałe, w szczególności nie istnieje słaba homotopijna równoważność $X\to \mathbb {S} ^{1}$.
• Ogólniej, dla każdego kompleku symplicjalnego $K$ istnieje $T_{0}$-przestrzeń Aleksandrowa (skończona gdy $K$ jest skończony) oraz słaba homotopijna równoważność $|K|\to X$.