Izomorfizm

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur − funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury $\mathcal A$ w uniwersum struktury $\mathcal B$, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

W konkretnych obiektach algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie $\displaystyle f$ takie, że $\displaystyle f$ i jego odwrotność $\displaystyle f^{-1}$ są homomorfizmami.

O strukturach $\mathcal A$ i $\mathcal B$ powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z $\mathcal A$ w $\mathcal B$. Oznacza to, że obiekty izomorficzne różnią się w gruncie rzeczy oznaczeniami, a ich struktury mogą być uważane za identyczne. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

Przykłady

• Izomorfizm z grupy $(A,\circ)$ w grupę $(B,\bullet)$ to funkcja wzajemnie jednoznaczna $f: A \to B$ zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że $\forall_{a, b \in A}\; f(a \circ b)=f(a) \bullet f(b)$.
• Izomorfizm z ciała $(K,\circ, +)$ w ciało $(L,\bullet, \Diamond)$ to bijekcja $g: K \to L$ taka, że $\forall_{a, b \in K}\; g(a \circ b)=g(a) \bullet g(b) \and g(a + b)=g(a) \;\Diamond\; g(b)$.
• Izomorfizm z częściowego porządku $\displaystyle (P, <)$ w częściowy porządek $(Q, \triangleleft)$ to funkcja wzajemnie jednoznaczna $h: P \to Q: \forall_{a, b \in P}\; a < b \iff h(a) \triangleleft h(b)$.

Teoria kategorii

Morfizm $f\colon X \to Y$ nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm $g\colon Y \to X$ taki, że $f \circ g = \operatorname{id}_Y$ oraz $g \circ f = \operatorname{id}_X$.

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to $\displaystyle f$ jest izomorfizmem, zaś $\displaystyle g$ nazywane jest po prostu odwrotnością $\displaystyle f$. Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność $\displaystyle g$ jest także izomorficzna z odwrotnością $\displaystyle f$. O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Własności

1. Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem.
2. Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

Przykłady

• W Set izomorfizmami są bijekcje.
• W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
• W Vec_K izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.
• W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
• W Met izomorfizmami są izometrie.
• W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Zobacz też

• morfizm
• algebra ogólna
• homomorfizm
• epimorfizm
• monomorfizm

Bibliografia

1. Fritz Reinhardt: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 41.
2. Andrzej Mostowski: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: PWN, 1974, s. 49, seria: BM 16.
3. Steven George Krantz: Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry. CRC Press, 2000, s. 162. ISBN 1-58488-052-X, ISBN 978-1-58488-052-3. [dostęp 5 maja 2009]. (ang.)
4. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
5. Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.
6. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.