Izomorfizm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy algebry. Zobacz też: Izomorfizm (ujednoznacznienie).

Izomorfizm (gr. isos – równy, morphe – kształt) struktur − funkcja wzajemnie jednoznaczna z uniwersum struktury \mathcal A w uniwersum struktury \mathcal B, która zachowuje funkcje, relacje i wyróżnione elementy.

W konkretnych obiektach algebry uniwersalnej (takich jak grupy, pierścienie, moduły itp.) izomorfizmem nazywamy wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie \displaystyle f takie, że \displaystyle f i jego odwrotność \displaystyle f^{-1}homomorfizmami.

O strukturach \mathcal A i \mathcal B powiemy, że są izomorficzne, jeżeli istnieje izomorfizm z \mathcal A w \mathcal B. Oznacza to, że obiekty izomorficzne różnią się w gruncie rzeczy oznaczeniami, a ich struktury mogą być uważane za identyczne. W ten sposób w klasie wszystkich obiektów danego rodzaju wprowadzana jest relacja równoważności.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Izomorfizm z grupy (A,\circ) w grupę (B,\bullet) to bijekcja f: A \to B zachowująca działanie grupowe, czyli taka, że \forall_{a, b \in A}\; f(a \circ b)=f(a) \bullet f(b).
  • Izomorfizm z ciała (K,\circ, +) w ciało (L,\bullet, \Diamond) to bijekcja g: K \to L taka, że \forall_{a, b \in K}\; g(a \circ b)=g(a) \bullet g(b) \and g(a + b)=g(a) \;\Diamond\; g(b).
  • Izomorfizm z częściowego porządku \displaystyle (P, <) w częściowy porządek (Q, \triangleleft) to funkcja wzajemnie jednoznaczna h: P \to Q: \forall_{a, b \in P}\; a < b \iff h(a) \triangleleft h(b).

Teoria kategorii[edytuj | edytuj kod]

Morfizm f\colon X \to Y nazywa się izomorfizmem, jeżeli istnieje morfizm g\colon Y \to X taki, że f \circ g = \operatorname{id}_Y oraz g \circ f = \operatorname{id}_X[1].

Jeżeli morfizm posiada lewą i prawą odwrotność i są one równe, to \displaystyle f jest izomorfizmem, zaś \displaystyle g nazywane jest po prostu odwrotnością \displaystyle f. Morfizm odwrotny do danego, jeżeli istnieje, jest dokładnie jeden. Odwrotność \displaystyle g jest także izomorficzna z odwrotnością \displaystyle f. O dwóch obiektach, między którymi istnieje izomorfizm, mówi się, iż są izomorficzne lub równoważne.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  1. Każdy izomorfizm jest monomorfizmem i epimorfizmem[2].
  2. Morfizmy identycznościowe są izomorfizmami.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • W Set izomorfizmami są bijekcje.
  • W Grp izomorfizmami są izomorfizmy grup.
  • W VecK izomorfizmami są bijektywne przekształcenia liniowe.
  • W Top izomorfizmami są homeomorfizmy.
  • W Met izomorfizmami są izometrie.
  • W Pos izomorfizmami są izomorfizmy porządków.

Przypisy

  1. Bucur, Deleanu, op. cit., s.13
  2. Bucur, Deleanu, op. cit., s.13-14

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Fritz Reinhardt: Atlas matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, s. 41.
  2. Andrzej Mostowski: Elementy algebry wyższej. Wyd. 7. Warszawa: PWN, 1974, s. 49, seria: BM 16.
  3. Steven George Krantz: Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry. CRC Press, 2000, s. 162. ISBN 1-58488-052-X, ISBN 978-1-58488-052-3. [dostęp 5 maja 2009]. (ang.)
  4. Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  5. Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.
  6. Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.