Przestrzeń ściągalna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń ściągalnaprzestrzeń topologiczna X o tej własności, że odwzorowanie identycznościowe idX na X jest homotopijne z przekształceniem stałym na X. Innymi słowy, przestrzeń topologiczna jest ściągalna gdy jest homotopijnie równoważna przestrzeni złożonej z jednego punktu.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzenie euklidesowe są ściągalne.
  • Sfera w przestrzeni Hilberta H jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy X jest nieskończenie wymiarowa.
  • Grupa zespolonych macierzy ustalonego stopnia jest ściągalna. Uogólnieniem tego faktu jest twierdzenie Kuipera, które mówi, że grupa operatorów odwracalnych na dowolnej przestrzeni Hilberta jest ściągalna. Podobnie, grupy operatorów na przestrzeniach p (1 ≤ p < ∞) oraz c0 są ściągalne[1][2]. (Kuiper[3] udowodnił to dla ośrodkowych przestrzeni Hilberta; twierdzenie zachodzi jednak w pełnej ogólności[4]). Innymi przykładami przestrzeni Banacha, których grupy automorfizmów są ściągalne to przestrzeń Jamesa oraz C[0, ω1][5].
  • Rozmaitość Whiteheada jest ściągalna.

Przypisy

  1. D. Arlt, Zusammenziehbarkeit der allgemeinen linearen Gruppe des Raumes c0 der Nullfolgen, Invent. Math. 1 (1966), 36–44.
  2. G. Neubauer, Der Homotopietyp der Automorphismengruppe in den Räumen p und c0, Math. Ann. 174 (1967), 33–40.
  3. N.H. Kuiper, The homotopy type of the unitary group of hilbert space. Topology, 3 (1965), 19–30.
  4. K.-H. Neeb, Classical Hilbert-Lie groups, their extensions and their homotopy groups, (Będlewo, 2000) Banach Center Publ., 55, Polish Acad. Sci., Warsaw, 2002, pp. 87–151.
  5. I.S. Edelstein and B.S. Mityagin, Homotopy type of linear groups of two classes of Banach spaces, Funct. Anal. Appl. 4 (1970), 221–231.