Funkcja wzajemnie jednoznaczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Bijekcja umożliwia jednoczesne sparowanie wszystkich elementów odwzorowywanych zbiorów.

Funkcja wzajemnie jednoznaczna (bijekcja)funkcja będąca jednocześnie funkcją różnowartościową i "na". Innymi słowy, bijekcja to funkcja (relacja) taka, że każdemu elementowi obrazu odpowiada dokładnie jeden element dziedziny.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

W teorii mnogości bijekcja definiowana jest jako podzbiór f \subseteq X \times Y iloczynu kartezjańskiego zbiorów X i Y, który spełnia następujące warunki:

  • \forall_{x \in X}\; \exists_{y \in Y}\quad x \;f\; y.
  • \forall_{y \in Y}\; \exists_{x \in X}\quad x \;f\; y.
  • \forall_{x,y \in X}\; \forall_{z \in Y}\quad x \;f\; z \and y \;f\; z \implies x = y.
  • \forall_{x \in X}\; \forall_{y, z \in Y}\quad x \;f\; y \and x \;f\; z \implies y = z.

Słownie: każdy element dziedziny musi być w relacji z dokładnie jednym elementem przeciwdziedziny i odwrotnie.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

  • Przeciwdziedzina jest równa obrazowi funkcji, Y = f(X).
  • Funkcja jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja do niej odwrotna – również i ona jest bijekcją.

Grupa bijekcji[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: grupa permutacji.

Ponieważ działanie składania bijekcji danego zbioru (na siebie) jest łączne i jest ono automorfizmem, a każda bijekcja posiada jednoznacznie określoną do niej funkcję odwrotną, to spełnione są aksjomaty grupy. Grupę taką nazywa się grupą bijekcji tego zbioru i są to historycznie pierwsze rozważane grupy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]