Przestrzeń topologiczna

Przestrzeń topologiczna – podstawowe pojęcie topologii; zbiór wyposażony w strukturę (tzw. topologię) wyróżniającą pewną rodzinę jego podzbiorów (tzw. zbiory otwarte), co umożliwia określenie czy dany punkt leży „blisko”, czy „daleko” od danego podzbioru (w jego domknięciu lub poza nim) mimo braku pojęcia odległości (metryki).

Naturalnym przykładem przestrzeni topologicznej jest dowolna przestrzeń metryczna, w której topologiczna „bliskość” definiowana jest za pomocą metryki: do zbiorów domkniętych należą punkty będące granicami ciągów danego zbioru – prowadzi to do uznania za otwarte zbiorów składających się z wszystkich kul otwartych i ich sum (także przeliczalnych). Przestrzeń topologiczną, w której topologię można uzyskać za pomocą pewnej metryki nazywa się metryzowalną; jak można się domyślać, nie wszystkie przestrzenie topologiczne są metryzowalne – stąd pojęcie przestrzeni topologicznej jest dużo ogólniejsze od pojęcia przestrzeni metrycznej.

Przestrzenie topologiczne pojawiają się w wielu dziedzinach matematyki takich jak analiza matematyczna, teoria porządków (zob. topologia porządkowa) czy geometria algebraiczna (zob. topologia Zariskiego).

Wprowadzenie

Wiele własności obiektów studiowanych w analizie matematycznej można scharakteryzować wyłącznie za pomocą zbiorów otwartych. Przykładowo, funkcja $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz $f^{-1}(U)$ dowolnego otwartego podzbioru $\mathbb R$ jest otwarty.

W przestrzeni metrycznej kulę otwartą określa się jako zbiór punktów odległych od określonego punktu (tzw. środka) o mniej niż zadana odległość (tzw. promień). Zbiory otwarte definiuje się wtedy jako sumy (również przeliczalne) takich kul.

Prosta $\mathbb R$ wyposażona jest w naturalnie określoną odległość nazywaną metryką euklidesową daną wzorem

$d(x, y) = |x - y|$

dla dowolnych $x, y \in \mathbb R,$ gdzie $|\cdot|$ oznacza wartość bezwzględną. Kulami otwartymi na prostej są przedziały otwarte, a zbiorami otwartymi – ich sumy. Rodzina podzbiorów otwartych prostej rzeczywistej ma szereg własności będących podstawą wielu dowodów, wśród nich pojawiają się m.in.

• cała prosta jest zbiorem otwartym;
• część wspólna skończonej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym;
• suma przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.

W szczególności otwarty jest też zbiór pusty, gdyż jest sumą pustej rodziny zbiorów otwartych.

Powyższe obserwacje dotyczące prostej $\mathbb R$ przenoszą się wprost na dowolne przestrzenie metryczne. Łatwo zaobserwować, że podstawowe własności zbiorów otwartych i ich wykorzystanie w wielu rozumowaniach nie ulega zmianie. Często okazuje się jednak, że użyteczniejsza jest sama struktura zbiorów otwartych, a nie metryka, która do nich prowadzi. Przestrzeń topologiczna stanowi właśnie uogólnienie przestrzeni metrycznej w tym duchu: jest to przestrzeń z zadanymi z góry zbiorami otwartymi, a przyjęte własności rodziny zbiorów otwartych to niezbędne minimum do budowy nietrywialnej, a zarazem spójnej teorii.

Najbardziej interesujące są dla matematyków te własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się podczas przekształcania ich w sposób wzajemnie jednoznaczny, ciągły oraz otwarty – czyli poprzez homeomorfizm. Takimi własnościami, nazywanymi niezmiennikami, są na przykład zwartość, ośrodkowość i spójność, lecz nie zupełność (która jest niezmiennikiem metrycznym).

Definicja

Niech dany będzie niepusty zbiór $X,$ który dalej nazywany będzie przestrzenią. Rodzinę zbiorów $\tau$ zawartą w zbiorze potęgowym zbioru $X$ nazywa się topologią na tym zbiorze, jeśli spełnia ona następujące aksjomaty:

• $X \in \tau,\varnothing \in \tau$
• jeśli $U, V \in \tau,$ to $U \cap V \in \tau$,
• jeśli $\mathcal A \subseteq \tau$, to $\bigcup \mathcal A \in \tau.$

Wówczas parę $(X, \tau)$ nazywa się przestrzenią topologiczną. Elementy rodziny $\tau$ nazywa się podzbiorami otwartymi, a ich dopełnienia noszą nazwę podzbiorów domkniętych. Oczywiście istnieją zbiory, które nie są ani otwarte, ani domknięte; jednak istnieją również zbiory, które są zarazem otwarte jak i domknięte – nazywa się je zbiorami otwarto-domkniętymi.

Wnętrze, domknięcie i brzeg

Niech dana będzie przestrzeń topologiczna $(X, \tau).$ Niżej $A^\operatorname c$ oznacza dopełnienie zbioru $A.$

Wnętrzem (ang. interior) zbioru $A$ nazywa się zbiór największy (w sensie zawierania) zbiór otwarty zawarty w $A,$

$\operatorname{int}\; A := \bigcup \{U \in \tau\colon U \subseteq A\}.$

Domknięcie (ang. closure) zbioru $A$ to najmniejszy (w sensie zawierania) zbiór domknięty zawierający zbiór $A,$

$\operatorname{cl}\; A := \bigcap \{F\colon F \supseteq A \and F^\operatorname c \in \tau\}$

Operacje wnętrza i domknięcia są do siebie dualne w tym sensie, iż

$\operatorname{cl}\; A = \operatorname{int}(A^\operatorname c)^\operatorname c$

oraz

$\operatorname{int}\; A = \operatorname{cl}(A^\operatorname c)^\operatorname c.$

Ponadto wnętrzem zbioru otwartego, jak i domknięciem zbioru domkniętego są te właśnie zbiory. Prowadzi to do następujących charakteryzacji zbiorów otwartych i domkniętych:

zbiór jest otwarty (odp. domknięty), jeśli jest równy swemu wnętrzu (odp. domknięciu).

Brzegiem (ang. border, frontier) zbioru $A$ nazywa się różnicę domknięcia i wnętrza tego zbioru,

$\operatorname{bd}\; A \equiv \operatorname{fr}\; A := \operatorname{cl}\; A \setminus \operatorname{int}\; A$

Wszystkie powyższe operacje – wnętrza, domknięcia i brzegu – są idempotentne.

Przykłady

W dowolnym zbiorze X można wprowadzić wiele różnych topologii, które nie zależą od samej natury obiektów składających się na ten zbiór. Do podstawowych przykładów należą

• topologia antydyskretna, w której jedynymi zbiorami otwartymi są zbiór pusty i cała przestrzeń X,
• topologia dyskretna, w której wszystkie podzbiory zbioru X są otwarte czyli topologią jest zbiór potęgowy zbioru X,
• jeżeli X jest zbiorem nieskończonym, to wyszczególnione niżej rodziny podzbiorów zbioru X są topologiami:
  • $\tau_1=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|<\aleph_0\}$ (zbiorami otwartymi w tej topologii są te zbiory, których dopełnienie jest skończone)
  • $\tau_2=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|\leq\aleph_0\}$ (zbiorami otwartymi w tej topologii są te zbiory, których dopełnienie jest przeliczalne)
  • $\tau_3=\{U\subseteq X\colon\, |X\setminus U|<\aleph_0 \vee p\notin U\}$ przy ustalonym punkcie $p\in X$ (tzw. topologia zbiorów koskończonych z wyróżnionym punktem).

Przykładami przestrzeni topologicznych, które stosunkowo często bywają kontrprzykładami na stawiane przez matematyków pytania są np. miotełka Kuratowskiego, płaszczyzna Niemyckiego, prosta Sorgenfreya, przestrzeń Apperta czy rogata sfera Alexandera. Opis nietypowych przestrzeni topologicznych można znaleźć w monografii Steena i Seebacha

Sposoby wprowadzania

Aby określić topologię na danym zbiorze $X$, należy zadeklarować które z podzbiorów $X$ są otwarte, i sprawdzić, że tak wyróżniona rodzina zbiorów spełnia wymagania aksjomaty topologii (patrz wyżej). W praktyce topologicznej, często najpierw opisuje się inne rodziny zbiorów lub operacji na zbiorach, z których następnie definiuje się topologię na danej przestrzeni.

Poniżej, niech $X$ będzie ustalonym zbiorem niepustym.

Poprzez rodzinę zbiorów domkniętych

Przypuśćmy że rodzina $\mathcal F$ podzbiorów $X$ spełnia następujące warunki:

1. $\varnothing,X \in \mathcal F$,
2. suma skończenie wielu zbiorów z $\mathcal F$ należy do $\mathcal F$,
3. część wspólna dowolnej rodziny zbiorów z $\mathcal F$ należy do $\mathcal F$.

Wówczas istnieje (jedyna) topologia $\mathcal{T}$ na $X$ taka, że $\mathcal F$ jest rodziną zbiorów domkniętych w tej topologii.

Za pomocą operacji wnętrza

Jeśli funkcja, którą nazwiemy operacją wnętrza (operacją Kuratowskiego), $\Phi\colon \mathcal P(X) \to \mathcal P(X)$ spełniająca, dla dowolnych $A,B\subseteq X$, następujące warunki:

(IO1) $\Phi(X)=X$,

(IO2) $\Phi(A) \subseteq A$,

(IO3) $\Phi(A \cap B)=\Phi(A) \cap \Phi(B)$,

(IO4) $\Phi\big(\Phi(A)\big)=\Phi(A)$,

to rodzina $\mathcal{T}=\{U\subseteq X\colon \Phi(U)=U\}$ jest topologią na $X$ oraz $\operatorname{Int}(A)=\Phi(A)$ dla dowolnego $A \subseteq X$, innymi słowy $\Phi$ jest operacją wnętrza dla tej topologii.

Powyższe twierdzenie nazywa się twierdzeniem Kuratowskiego.

Zastosowanie operacji domknięcia (podejście Kuratowskiego)

Jeśli funkcja $\Psi\colon{\mathcal P}(X) \to {\mathcal P}(X)$ spełnia, dla dowolnych $A,B\subseteq X$, następujące warunki:

(CO1) $\Psi(\varnothing)=\varnothing$,

(CO2) $A\subseteq \Psi(A)$,

(CO3) $\Psi(A\cup B)=\Psi(A)\cup \Psi(B)$,

(CO4) $\Psi\big(\Psi(A)\big)=\Psi(A)$.

to rodzina $\mathcal{T}=\{X\setminus U\subseteq X\colon \Psi(U)=U\}$ jest topologią na $X$ oraz $\operatorname{cl}(A)=\Psi(A)$ dla dowolnego $A \subseteq X$, innymi słowy $\Psi$ jest operacją domknięcia dla tej topologii.

Wskazanie bazy

Przypuśćmy że rodzina ${\mathcal B}$ podzbiorów $X$ spełnia następujące dwa warunki:

(B1) jeśli $U,V\in {\mathcal B}$ oraz $x\in U\cap V$, to można znaleźć $W\in {\mathcal B}$ taki że $x\in W\subseteq U\cap V$,

(B2) dla każdego $x\in X$ można znaleźć $U\in {\mathcal B}$ takie że $x\in U$.

Wówczas istnieje (jedyna) topologia $\mathcal{T}$ na $X$ taka, że rodzina ${\mathcal B}$ jest bazą tej topologii.

Przykłady

• Niech $X$ będzie zbiorem wszystkich ideałów pierwszych $I$ pierścienia $\mathbb{Z}$. $X$ jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór

$\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\}$, gdzie $V_k=\{I\in X\colon\; k\notin I\}$.

• Niech $X=\mathbb{N}\setminus\{1\}$. $X$ jest przestrzenią topologiczną, której bazą jest zbiór

$\{V_k\colon k\in\mathbb{N}\setminus\{1\}\}$, gdzie $V_k=\{n\in X\colon\; n|k\}$.

Określenie systemu otoczeń

Załóżmy, że $\{\mathcal B(x)\colon x \in X\}$ jest systemem podzbiorów $X$ takim, że następujące warunki są spełnione:

(BP1) Dla każdego $x\in X$, $\mathcal B(x) \ne \varnothing$ i dla każdego $U \in \mathcal B(x)$ mamy $x \in U$.

(BP2) Jeśli $x \in U \in \mathcal B(y)$, $x, y \in X$, to istnieje $V \in \mathcal B(x)$ takie, że $V \subseteq U$.

(BP3) Dla każdych $U_1, U_2 \in \mathcal B(x)$, $x \in X$, można znaleźć $U \in \mathcal B(x)$ takie, że $U \subseteq U_1 \cap U_2$.

Niech $\mathcal{T}$ będzie rodziną wszystkich podzbiorów $X$, które mogą być przedstawione jako sumy podrodzin rodziny $\bigcup\{\mathcal B(x)\colon\, x\in X\}$. Wówczas $\mathcal{T}$ jest topologią na $X$ i $\{\mathcal B(x)\colon x\in X\}$ jest systemem (bazą) otoczeń otwartych dla tej topologii.

Porównanie topologii

Jak już wspomniano, w danym zbiorze można określić wiele topologii. Jeżeli każdy zbiór otwarty w sensie topologii (tzn. element rodziny) $\tau_1$ należy również do $\tau_2,$ to mówi się, że $\tau_2$ jest mocniejsza od $\tau_1,$ a topologia $\tau_1$ jest słabsza od $\tau_2.$

Rodzina $\mathcal T$ wszystkich topologii na danym zbiorze $X$ tworzy kratę zupełną z działaniami

• $\tau_1 \wedge \tau_2 = \tau_1 \cap \tau_2,$
• $\tau_1 \vee \tau_2 = \bigcap\{\tau \in \mathcal T\colon \tau_1 \cup \tau_2 \subseteq \tau\}$

dla $\tau_1, \tau_2 \in \mathcal T.$

Krata ta na ogół nie jest komplementarna.

Konstrukcje topologiczne

Każdy podzbiór przestrzeni topologicznej można wyposażyć w topologię podprzestrzeni, w której zbiory otwarte są przekrojami zbiorów otwartych przestrzeni z danym podzbiorem. Dla dowolnej rodziny indeksowanej przestrzeni topologicznych ich produkt może być wyposażony w topologię produktową, która jest generowana przez przeciwobrazy zbiorów otwartych czynników w przekształceniach rzutów. Przykładowo, w produktach skończonych, baza topologii produktowej składa się ze wszystkich produktów zbiorów otwartych. Dla produktów nieskończonych istnieje dodatkowy warunek, iż w zbiorze otwartym z bazy wszystkie poza skończenie wieloma z jego rzutów są całą przestrzenią.

Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest następująco: jeśli $X$ jest przestrzenią topologiczną, zaś $Y$ jest dowolnym zbiorem, a $f\colon X \to Y$ jest funkcją suriektywną, to topologią ilorazową na $Y$ jest rodzina podzbiorów $Y,$ które mają otwarte przeciwobrazy w $f.$ Innymi słowy topologia ilorazowa jest najbogatszą topologią na $Y,$ w której $f$ jest ciągłe. Popularnym przykładem topologii ilorazowej jest zdefiniowanie relacji równoważności na przestrzeni topologicznej $X.$ Wówczas przekształcenie $f$ jest naturalnym rzutem na zbiór klas abstrakcji.

Topologia Vietorisa na zbiorze wszystkich niepustych podzbiorów przestrzeni topologicznej $X,$ nosząca nazwisko Leopolda Vietorisa, jest generowana przez następującą bazę: dla każdej $n$-tki $U_1, \dots, U_n$ zbiorów otwartych w $X$ konstruuje się bazę składającą się ze wszystkich podzbiorów sumy $U_i,$ które mają niepuste przecięcie z każdym $U_i.$

Klasyfikacja

Przestrzenie można sklasyfikować, co do homeomorfizmu, zgodnie z ich niezmiennikami topologicznymi. Aby udowodnić, że dwie przestrzenie nie są homeomorficzne wystarczy wskazać niezmiennik, który posiada tylko jedna z nich. Przykładami takich niezmienników są m.in. spójność, zwartość, ośrodkowość (lecz nie zupełność, która jest niezmiennikiem metrycznym), czy różne aksjomaty oddzielania.

Struktury algebraiczne

Dla dowolnego obiektu algebraicznego można wprowadzić topologię dyskretną, w której działania algebraiczne są funkcjami ciągłymi. W każdej takiej strukturze, która nie jest skończona, istnieje często topologia naturalna, zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że dalej są one ciągłe. Prowadzi to do takich pojęć jak grupy topologiczne, przestrzenie liniowo-topologiczne, pierścienie topologiczne, czy ciała lokalne.

Przypadki szczególne i uogólnienia

Następujące przestrzenie i algebry są przypadkami szczególnymi lub ogólnymi od przestawionych wyżej przestrzeni topologicznych:

• przestrzeń z bliskością dostarcza pojęcia bliskości dwóch zbiorów;
• przestrzeń metryczna daje precyzyjne pojęcie odległości między dwoma punktami;
• przestrzeń jednostajna aksjomatyzuje porządek odległości między różnymi punktami;
• przestrzeń Cauchy'ego jest aksjomatyzacją możliwości sprawdzenia, czy dany ciąg uogólniony jest Cauchy'ego; dają one możliwość badania uzupełnień;
• przestrzenie ze zbieżnością ujmują pewne cechy zbieżności filtrów;
• σ-algebra oparta na pojęciu zbioru mierzalnego.

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania

Bibliografia

• Engelking Ryszard: Topologia ogólnaWarszawa: PWN 1976
• Kuratowski Kazimierz: Wstep do teorii mnogosci i topologii. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1966
• Handbook of set-theoretic topology. Red. Kenneth Kunen i Jerry E. Vaughan. Wyd. 1. Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1984.
• Nagata Jun-iti: Modern General Topology. Wyd. 2 (poprawione). Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1985