Miara dyskretna

Miara dyskretna (ang. discrete measure) - miara określona na przestrzeni mierzalnej $(X,{\mathcal {F}})$, która danemu zbiorowi $A\in {\mathcal {F}}$ przyporządkowuje jego wielkość w oparciu o to, ile elementów pewnego ciągu o wyrazach w $X$ on zawiera. Naturalnym przeciwieństwem miary dyskretnej jest miara ciągła, która spełnia równość $\mu (\{x\})=0$ dla każdego $x\in X$, tzn. każdy jednoelementowy podzbiór $X$ ma miarę 0.

Definicja

Niech $(X,{\mathcal {F}})$ będzie taką przestrzenią mierzalną, że dla każdego $x\in X$ zbiór $\{x\}$ należy do σ-algebry ${\mathcal {F}}$. Miarę skończoną lub σ-skończoną nazwiemy dyskretną, jeśli istnieje przeliczalny zbiór $D\in {\mathcal {F}}$ taki, że $\mu (D^{c})=0$.

Własności

Niech $\mu$ będzie miarą dyskretną określoną na przestrzeni $(X,{\mathcal {F}})$ oraz niech $D\in {\mathcal {F}}$ będzie odpowiadającym jej przeliczalnym zbiorem. Wówczas dla dowolnej funkcji mierzalnej $g\;\colon X\to [0,\infty ]$ oraz $A\in {\mathcal {F}}$ zachodzi

$\int _{A}g\;d\mu =\sum _{x\in A\cap D}g(x)\mu (\{x\})$.