Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Hiperpłaszczyzna podpierająca – pojęcie analizy wypukłej .
Niech
A
{\displaystyle A}
wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej
X
.
{\displaystyle X.}
Funkcjonał liniowy
f
∈
X
∗
{\displaystyle f\in X^{*}}
funkcjonałem podpierającym zbiór
A
{\displaystyle A}
x
0
∈
A
,
{\displaystyle x_{0}\in A,}
λ
,
{\displaystyle \lambda ,}
f
(
x
0
)
=
λ
{\displaystyle f(x_{0})=\lambda }
oraz
A
⊆
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
⩽
λ
}
.
{\displaystyle A\subseteq \{x\in X\colon f(x)\leqslant \lambda \}.}
Wówczas
f
−
1
(
λ
)
{\displaystyle f^{-1}(\lambda )}
hiperpłaszczyzną podpierającą
A
{\displaystyle A}
x
0
.
{\displaystyle x_{0}.}
Dla hiperpłaszczyzn podpierających przestrzeni euklidesowych zachodzi twierdzenie o hiperpłaszczyźnie podpierającej :
Niech
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
∀
x
∈
R
n
∃
r
∈
R
n
∀
y
∈
R
n
f
(
y
)
⩾
f
(
x
)
+
⟨
r
,
y
−
x
⟩
,
{\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\exists _{r\in \mathbb {R} ^{n}}\forall _{y\in \mathbb {R} ^{n}}~f(y)\geqslant f(x)+\langle r,\;y-x\rangle ,}
gdzie
⟨
⋅
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle \cdot ,\;\cdot \rangle }
iloczyn skalarny w
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Odwzorowanie
y
↦
f
(
x
)
+
⟨
r
,
y
−
x
⟩
{\displaystyle y\mapsto f(x)+\langle r,\;y-x\rangle }
wyznacza hiperpłaszczyznę podpierającą
f
{\displaystyle f}
x
.
{\displaystyle x.}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
x
,
{\displaystyle x,}
r
=
∇
f
(
x
)
.
{\displaystyle r=\nabla f(x).}
Lawrence C. Evans: Partial Differential Equations , American Mathematical Society, 2010. 
