Zbiór wypukły

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Pięciokąt wypukły.
Przykłady zbiorów, które nie są wypukłe.
Czworokąt wklęsły.

Zbiór wypukły – pojęcie geometryczne, podzbiór pewnej przestrzeni zawierający wraz dowolnymi dwoma jego punktami odcinek je łączący. Wspomniana przestrzeń może być euklidesowa, afiniczna, a nawet tylko liniowa (wektorowa); we wszystkich przypadkach wymaga się, by ciało skalarów było uporządkowane, zwykle jest to ciało liczb rzeczywistych, bądź liczb zespolonych.

Zbiór \scriptstyle C przestrzeni liniowej (nad ciałem uporządkowanym) nazywa się wypukłym, jeżeli dla dowolnych dwóch wektorów \scriptstyle \mathbf x, \mathbf y oraz dla dowolnych skalarów \scriptstyle a, b \geqslant 0, dla których \scriptstyle a + b = 1 zachodzi

a \mathbf x + b\mathbf y \in C.

Spotyka się również równoważne warianty tej definicji, np. dla dowolnych dwóch wektorów \scriptstyle \mathbf x, \mathbf y oraz dla dowolnego skalara \scriptstyle a przebiegającego do przedział jednostkowy \scriptstyle [0, 1] musi zachodzić

a \mathbf x + (1 - a) \mathbf y \in C;

w przestrzeniach afinicznych (każda przestrzeń liniowa jest przestrzenią afiniczną stowarzyszoną sama ze sobą) ostatni warunek można zastąpić następującym

\mathrm y + a(\mathrm x - \mathrm y) \in C.

Zbiór, który nie jest wypukły nazywa się wklęsłym lub niewypukłym. Wektor (punkt) nazywa się ekstremalnym, jeżeli nie należy on do wnętrza żadnego odcinka zawartego w zbiorze \scriptstyle C.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładami zbiorów wypukłych na płaszczyźnie euklidesowej są: cała płaszczyzna, półpłaszczyzna, koło, kwadrat, trójkąt, odcinek, prostokąt, każdy wielokąt foremny. Kąt płaski jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy jego miara jest mniejsza bądź równa mierze kąta półpełnego (w tym kąt prosty) lub równa mierze kąta pełnego (zob. klasyfikacja kątów).

Zbiór zawierający pojedynczy punkt również jest wypukły, przy czym punkt ten jest ekstremalny. Punktami ekstremalnymi są również wierzchołki wielokątów wypukłych, podobnie jak każdy punkt okręgu danego koła. W przestrzeni trójwymiarowej zbiorami wypukłymi są m.in. kula, sześcian, stożek, czy prostopadłościan.

Każdy skończony zbiór punktów o co najmniej dwóch elementach oraz każdy okrąg są zbiorami wklęsłymi; przykładami brył niewypukłych są n.in. sfera, torus.

Część wspólna zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym, choć ich suma nie musi być wypukła. Dla wielościanów wypukłych prawdziwe jest twierdzenie Eulera o wielościanach, które mówi suma jego wierzchołków oraz ścian jest równa liczbie jego krawędzi pomniejszonej o dwa.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]