Kryterium Jury

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Kryterium Jury (kryterium stabilności Jury) – kryterium podobne do kryterium stabilności Hurwitza z tą różnicą, że może być wykorzystywane do analizy stabilności liniowych stacjacjonarnych układów cyfrowych w dziedzinie Z.

Aby skorzystać z kryterium w celu ustalenia czy układ cyfrowy jest stabilny, należy sprawdzić czy równanie charakterystyczne dziedziny Z spełnia określone wymagania. Jeśli funkcja nie spełnia jakiegoś wymogu oznacza to niestabilność. Spełnienie wszystkich wymagań oznacza stabilność. Kryterium stabilności Jury stanowi zarówno konieczny jak i dostateczny warunek stabilności dla układów cyfrowych.

Niech D(z) będzie wielomianem charakterystycznym układu (czyli wielomianem mianownika transmitancji w dziedzinie Z). Kryterium Jury opiera się wyłącznie na wielomianie charakterystycznym. Aby sprawdzić kryterium Jury należy dla układu sprawdzić klika mniejszych kryteriów - jeśli którekolwiek z nich nie będzie spełnione to oznacza, że układ jest niestabilny.

Niech dane będzie równanie charakterystyczne w postaci:

D(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_Nz^N

Następujące kryteria określają czy układ ma jakieś bieguny poza okręgiem jednostkowym (czyli w obszarze niestabilnym). Wartość N w poniższych testach określa stopień wielomianu charakterystycznego.

Układ musi spełnić wszystkie poniższe kryteria aby można go określić stabilnym. Jeśli układ nie spełni jakiegokolwiek testu można od razu przerwać badanie - wykonywanie kolejnych testów nie jest potrzebne.

Zasada 1
Jeśli z równa się 1, to wyjście układu musi być dodatnie:
D(1) > 0
Zasada 2
Jeśli z równa się -1, wówczas musi być spełniony następujący związek:
(-1)^ND(-1) > 0
Zasada 3
Wartość bezwzględna stałego wyrażenia (a0) musi być mniejsza niż wartość najwyższego współczynnika (aN):
|a_0| < a_N

Jeśli Zasada 1, Zasada 2 i Zasada 3 są spełnione, należy skonstruować szereg Jury'ego (patrz sekcja poniżej).

Zasada 4
Gdy utworzony już został szereg Jury, wszystkie następujące relacje muszą być spełnione aż do końca szeregu:
|b_0| > |b_{N-1}|
|c_0| > |c_{N-2}|
|d_0| > |d_{N-3}|
i tak dalej aż do ostatniego wiersza w szeregu. Jeśli wszystkie te warunki są spełnione to układ jest stabilny.

Jeśli konstruuje się szereg Jury, można wykonać testy zasady 4-tej. Jeśli szereg nie spełni zasady 4, w którymś z jej punktów to można zakończyć wyliczenia szeregu: układ jest niestabilny. Poniżej przedstawiono konstrukcję szeregu Jury.

Szereg Jury[edytuj | edytuj kod]

Szereg Jury konstruuje się najpierw przez wypisanie szeregu współczynników, a następnie wypisaniu kolejnego szeregu z tymi samymi współczynnikami w odwrotnej kolejności. Na przykład, jeśli wielomian jest układem trzeciego rzędu możemy napisać pierwsze dwa wiersze szeregu Jury w następujący sposób:

\overline{\underline{
       \begin{matrix} z^0 & z^1 & z^2 & z^3 & \ldots & z^N
                   \\ a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & \ldots& a_N
                   \\ a_N & \ldots & a_3 & a_2 & a_1 & a_0
       \end{matrix}}}

Teraz gdy już wypisany został pierwszy rząd współczynników, dodaje się inny wiersz współczynników (użyte zostaną oznaczenia b dla tego wiersza i oznaczenia c dla następnego wiersza jak w poprzedniej konwencji), i wylicza wartosci niższych wierszy z wartości wyższych wierszy. Każdy nowo dodany wiersz będzie miał o jeden współczynnik mniej niż wiersz przed nim:

\overline{\underline{
       \begin{matrix} 1) & a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & \ldots & a_N
                   \\ 2) & a_N & \ldots & a_3 & a_2 & a_1 & a_0
                   \\ 3) & b_0 & b_1 & b_2 & \ldots & b_{N-1}
                   \\ 4) & b_{N-1}& \ldots & b_2 & b_1 & b_0
                   \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots
                   \\ 2N-3) & v_0 & v_1 & v_2
       \end{matrix}}}

Uwaga: Ostatni rząd to rząd (2N-3), i zawsze ma 3 elementy. Test nie ma sensu jeśli N=1 ale w takim przypadku biegun jest znany.

Gdy już dojdzie się do wiersza z dwoma elementami, można zakonczyć konstruowanie szeregu.

Aby wyliczyć wartości wierszy z nieparzystymi numerami, można uzyć następujące wzory. Parzyste wiersze sa równe poprzedniemu wierszowi w odwrotnej kolejności. Wykorzystać można k jako arbitralnie dobraną wartość indeksu. Wzory takie mogą być wielokrotnie wykorzystywane dla wszystkich elementów w szeregu:

b_k =  \begin{vmatrix} a_0 & a_{N-k} 
                           \\ a_N & a_k
              \end{vmatrix}
c_k =  \begin{vmatrix} b_0 & b_{N-1-k} 
                           \\ b_{N-1} & b_k
              \end{vmatrix}
d_k =  \begin{vmatrix} c_0 & c_{N-2-k} 
                           \\ c_{N-2} & c_k
              \end{vmatrix}

Wzorzec ten może być kontynuowany dla wszystkich niższych wierszy w szeregu, jeśli jest taka potrzeba.