Kryterium stabilności Hurwitza

Kryterium stabilności Hurwitza jest metodą pozwalającą określić stabilność układu regulacji na podstawie równania charakterystycznego układu

$a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0=0$

o współczynnikach $a_i\;$ rzeczywistych.

Z punktu widzenia algebry kryterium Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej $s$, co pociąga za sobą stabilność układu. Na potrzeby kryterium wykorzystujemy ciąg wyznaczników, utworzonych ze współczynników równania charakterystycznego:

$\Delta_{1}=\begin{vmatrix} a_{1}\\ \end{vmatrix}\ ,$$\Delta_{2}=\begin{vmatrix} a_{1} & a_{0}\\ a_{3} & a_{2}\\ \end{vmatrix}\ ,$$\Delta_{3}=\begin{vmatrix} a_{1} & a_{0} & 0\\ a_{3} & a_{2} & a_{1}\\ a_{5} & a_{4} & a_{3}\\ \end{vmatrix}\ ,$$\Delta_{4}=\begin{vmatrix} a_{1} & a_{0} & 0 & 0 \\ a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0}\\ a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2}\\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4}\\ \end{vmatrix}\ ,$$\Delta_{5}=\begin{vmatrix} a_{1} & a_{0} & 0 & 0 & 0\\ a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0\\ a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1}\\ a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3}\\ a_{9} & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5}\\ \end{vmatrix}\ ,$$\dots$

Aby układ regulacji był asymptotycznie stabilny muszą zostać spełnione następujące warunki:

1. Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego $a_i\;$ dla $i=0,1,\dots,n$ istnieją i są tego samego znaku.
2. Wszystkie wyznaczniki $\Delta_{1},\Delta_{2},\dots,\Delta_{n}$ są większe od zera

W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności.

Zbliżonym kryterium jest kryterium stabilności Routha, które dodatkowo pozwala na określenie liczby pierwiastków badanego równania odpowiednio o ujemnych, dodatnich i zerowych częściach rzeczywistych.

Bibliografia

• Krystyna Szacka: Teoria układów dynamicznych. Warszawa: Oficyna wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1995, s. 123-133. ISBN 83-86569-15-8.

Zobacz też

• macierz Hurwitza
• wielomian stabilny
• Twierdzenie Charitonowa