Kryterium stabilności Hurwitza

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy kryterium Adolfa Hurwitza z dziedziny algebry, znajdującego zastosowanie w automatyce. Zobacz też: kryterium Hurwicza (Leonida Hurwicza) z dziedziny teorii decyzji.

Kryterium stabilności Hurwitza jest metodą pozwalającą określić stabilność układu regulacji na podstawie równania charakterystycznego układu

a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+a_1\lambda+a_0=0

o współczynnikach a_i\; rzeczywistych.

Z punktu widzenia algebry kryterium Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, co pociąga za sobą stabilność układu. Na potrzeby kryterium wykorzystujemy ciąg wyznaczników, utworzonych ze współczynników równania charakterystycznego:


  \Delta_{1}=\begin{vmatrix}
  a_{1}\\ 
  \end{vmatrix}\ ,
  \Delta_{2}=\begin{vmatrix}
  a_{1} & a_{0}\\
  a_{3} & a_{2}\\  
  \end{vmatrix}\ ,
  \Delta_{3}=\begin{vmatrix}
  a_{1} & a_{0} & 0\\
  a_{3} & a_{2} & a_{1}\\ 
  a_{5} & a_{4} & a_{3}\\ 
  \end{vmatrix}\ ,
  \Delta_{4}=\begin{vmatrix}
  a_{1} & a_{0} & 0     & 0 \\
  a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0}\\ 
  a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2}\\ 
  a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4}\\ 
  \end{vmatrix}\ , 
  \Delta_{5}=\begin{vmatrix}
  a_{1} & a_{0} & 0     & 0     & 0\\
  a_{3} & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0\\ 
  a_{5} & a_{4} & a_{3} & a_{2} & a_{1}\\ 
  a_{7} & a_{6} & a_{5} & a_{4} & a_{3}\\ 
  a_{9} & a_{8} & a_{7} & a_{6} & a_{5}\\ 
  \end{vmatrix}\ , 
  \dots

Aby układ regulacji był asymptotycznie stabilny muszą zostać spełnione następujące warunki:

  1. Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego a_i\; dla i=0,1,\dots,n istnieją i są tego samego znaku.
  2. Wszystkie wyznaczniki \Delta_{1},\Delta_{2},\dots,\Delta_{n} są większe od zera

W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności.

Zbliżonym kryterium jest kryterium stabilności Routha, które dodatkowo pozwala na określenie liczby pierwiastków badanego równania odpowiednio o ujemnych, dodatnich i zerowych częściach rzeczywistych.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Krystyna Szacka: Teoria układów dynamicznych. Warszawa: Oficyna wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1995, s. 123-133. ISBN 83-86569-15-8.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]