Wykres funkcji logarytm naturalny w kartezjańskim układzie współrzędnych
Logarytm naturalny (logarytm Nepera , logarytm hiperboliczny ) – logarytm o podstawie
e
{\displaystyle e}
(liczba Eulera ), gdzie
e
=
2,718
281828...
{\displaystyle e=2{,}718281828...}
Oznaczany symbolem
log
e
{\displaystyle \log _{e}}
lub
ln
.
{\displaystyle \ln .}
Spotykany jest również zapis
log
{\displaystyle \log }
[1] .
Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera , który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do
1
e
.
{\displaystyle {\frac {1}{e}}.}
Logarytm jako pole pod wykresem
Logarytm naturalny liczby
a
{\displaystyle a}
można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
w przedziale od
1
{\displaystyle 1}
do
a
{\displaystyle a}
:
ln
(
a
)
=
∫
1
a
1
x
d
x
{\displaystyle \ln(a)=\int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x}
Logarytm jako granica
Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:
ln
a
=
lim
x
→
0
a
x
−
1
x
.
{\displaystyle \ln a=\lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}.}
Dowód
Oznaczmy:
a
x
−
1
=
1
z
{\displaystyle a^{x}-1={\frac {1}{z}}}
(1)
Wtedy
a
x
=
1
z
+
1.
{\displaystyle a^{x}={\frac {1}{z}}+1.}
Logarytmując obustronnie przy podstawie
e
,
{\displaystyle e,}
otrzymujemy:
x
ln
a
=
ln
(
1
+
1
z
)
,
{\displaystyle x\ln a=\ln {(1+{\frac {1}{z}})},}
1
x
=
ln
a
ln
(
1
+
1
z
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln {(1+{\frac {1}{z}})}}}.}
Mnożąc obustronnie przez (1) otrzymujemy:
a
x
−
1
x
=
ln
a
z
ln
(
1
+
1
z
)
=
ln
a
ln
(
1
+
1
z
)
z
.
{\displaystyle {\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{z\ln {(1+{\frac {1}{z}})}}}={\frac {\ln a}{\ln {(1+{\frac {1}{z}})^{z}}}}.}
Teraz należy wykazać, że przy
x
→
0
{\displaystyle x\to 0}
mianownik dąży do jednego. Otóż:
z
=
1
a
x
−
1
.
{\displaystyle z={\frac {1}{a^{x}-1}}.}
Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:
lim
x
→
0
a
x
−
1
x
=
ln
a
ln
lim
z
→
∞
(
1
+
1
z
)
z
.
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {a^{x}-1}{x}}={\frac {\ln a}{\ln \lim \limits _{z\to \infty }(1+{\frac {1}{z}})^{z}}}.}
Wyrażenie
(
1
+
1
z
)
z
{\displaystyle \scriptstyle \left(1+{\frac {1}{z}}\right)^{z}}
w mianowniku dąży do
e
,
{\displaystyle e,}
więc mianownik jest równy
ln
e
=
log
e
e
=
1
,
{\displaystyle \ln e=\log _{e}e=1,}
co było do okazania.
Pochodna logarytmu naturalnego
Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:
(
log
a
x
)
′
=
lim
Δ
x
→
0
log
a
(
x
+
Δ
x
)
−
log
a
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
1
Δ
x
log
a
(
x
+
Δ
x
x
)
=
{\displaystyle {(\log _{a}x)}^{\prime }=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\log _{a}\left({\frac {x+\Delta x}{x}}\right)=}
=
lim
Δ
x
→
0
1
x
log
a
(
1
+
Δ
x
x
)
x
Δ
x
=
1
x
log
a
e
=
1
x
ln
a
.
{\displaystyle =\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{x}}\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}={\frac {1}{x}}\log _{a}e={\frac {1}{x\ln a}}.}
Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie
a
=
e
{\displaystyle a=e}
otrzymujemy:
(
ln
x
)
′
=
1
x
.
{\displaystyle {(\ln x)}^{\prime }={\frac {1}{x}}.}
Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na
n
{\displaystyle n}
-tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli:
(
ln
x
)
(
n
)
=
−
1
(
n
−
1
)
⋅
(
n
−
1
)
!
x
n
.
{\displaystyle (\ln x)^{(n)}=-1^{(n-1)}\cdot {\frac {(n-1)!}{x^{n}}}.}
Własności
ln
(
x
y
)
=
ln
(
x
)
+
ln
(
y
)
{\displaystyle \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)}
dla
x
,
y
>
0
{\displaystyle x,y>0}
ln
(
x
)
<
ln
(
y
)
{\displaystyle \ln(x)<\ln(y)}
dla
0
<
x
<
y
{\displaystyle 0<x<y}
h
1
+
h
⩽
ln
(
1
+
h
)
⩽
h
{\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h}
dla
h
>
−
1
{\displaystyle h>-1}
Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję
ln
:
(
0
,
∞
)
→
R
{\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }
ln
(
x
y
)
=
ln
(
x
)
−
ln
(
y
)
{\displaystyle \ln \left({\frac {x}{y}}\right)=\ln(x)-\ln(y)}
dla
x
,
y
>
0
{\displaystyle x,y>0}
Jeśli ciąg
c
n
→
0
,
c
n
>
−
1
,
c
n
≠
0
,
{\displaystyle c_{n}\to 0,c_{n}>-1,c_{n}\neq 0,}
to:
ln
(
1
+
c
n
)
c
n
→
1
{\displaystyle {\frac {\ln(1+c_{n})}{c_{n}}}\to 1}
ln
e
x
=
x
,
{\displaystyle \ln e^{x}=x,}
e
ln
x
=
x
{\displaystyle e^{\ln x}=x}
dla
x
>
0
,
{\displaystyle x>0,}
ln
x
=
ln
10
⋅
log
x
≈
2,303
log
x
{\displaystyle \ln x\ =\ln 10\cdot \log x\ \approx 2{,}303\ \log x}
∫
d
x
x
=
ln
|
x
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C}
∫
f
′
(
x
)
f
(
x
)
d
x
=
ln
|
f
(
x
)
|
+
C
{\displaystyle \int {\frac {f^{\prime }(x)}{f(x)}}dx=\ln |f(x)|+C}
ln
(
x
)
≤
x
−
1
{\displaystyle \ln(x)\leq x-1}
ln
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
x
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
⋯
{\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots }
dla
−
1
<
x
⩽
1
{\displaystyle -1<x\leqslant 1}
ln
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
x
−
1
)
n
=
(
x
−
1
)
−
(
x
−
1
)
2
2
+
(
x
−
1
)
3
3
−
(
x
−
1
)
4
4
⋯
{\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\cdots }
dla
0
<
x
⩽
2
{\displaystyle 0<x\leqslant 2}
Zobacz też
Przypisy