Logarytm naturalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres funkcji logarytm naturalny w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie e = 2,718281828…, gdzie e jest liczbą Eulera. Oznaczany symbolem „loge” lub „ln”.

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do 1/e.

Logarytm jako pole pod wykresem[edytuj]

Logarytm naturalny liczby a można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji 1/x w przedziale od 1 do a:

Logarytm naturalny ln(x) jako całka po funkcji 1/x

Logarytm jako granica[edytuj]

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

Dowód[edytuj]

Oznaczmy:

(1)

Wtedy . Logarytmując obustronnie przy podstawie e otrzymujemy:

Mnożąc obustronnie przez (1) otrzymujemy:

Teraz należy wykazać, że przy mianownik dąży do jednego. Otóż:

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

Wyrażenie w mianowniku dąży do e, więc mianownik jest równy , co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnego[edytuj]

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie a = e otrzymujemy:

Własności[edytuj]

  • dla
  • dla
  • dla

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję

  • dla
  • Jeśli ciąg , to:
  • ,
  • dla x>0,

Rozwinięcie w szereg Maclaurina[edytuj]

dla
dla

Zobacz też[edytuj]