Logarytm naturalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres funkcji logarytm naturalny w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie (liczba Eulera), gdzie . Oznaczany symbolem lub . Spotykany jest również zapis [1].

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do .

Logarytm jako pole pod wykresem[edytuj]

Logarytm naturalny liczby można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji w przedziale od do :

Logarytm naturalny ln(x) jako całka po funkcji 1/x

Logarytm jako granica[edytuj]

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

Dowód[edytuj]

Oznaczmy:

(1)

Wtedy . Logarytmując obustronnie przy podstawie , otrzymujemy:

Mnożąc obustronnie przez (1) otrzymujemy:

Teraz należy wykazać, że przy mianownik dąży do jednego. Otóż:

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem wobec ciągłości logarytmu:

Wyrażenie w mianowniku dąży do , więc mianownik jest równy , co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnego[edytuj]

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie otrzymujemy:

Wartości pochodnych wyższych rzędów możemy wyznaczyć ze wzoru na -tą pochodną logarytmu naturalnego, czyli:

Własności[edytuj]

  • dla
  • dla
  • dla

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję

  • dla
  • Jeśli ciąg , to:
  • ,
  • dla ,

Rozwinięcie w szereg Maclaurina[edytuj]

dla
dla

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Robert G. Mortimer: Mathematics for Physical Chemistry. Academic Press, 2005-06-10, s. 9. ISBN 0080492886. [dostęp 2017-08-22].