Logarytm naturalny

Wykres funkcji logarytm naturalny w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie $e = 2{,}718\,281\,828\ldots$, oznaczany na ogół symbolem $\ln\ x$. Liczba e zwana jest liczbą Eulera.

Nazwa "logarytm Nepera" pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do $\frac{1}{e}$.

Logarytm naturalny z liczby a można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji 1/x w przedziale od 1 do a:

$\ln(a) = \int\limits_{1}^{a} \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x$

Logarytm jako granica

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

$\ln a=\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}$

Dowód

Oznaczmy:

$a^x - 1 = \frac{1}{z}$

(1)

Wtedy $a^x = \frac{1}{z} + 1$. Logarytmując obustronnie przy podstawie e otrzymujemy:

$x \ln a = \ln{(1+\frac{1}{z})}$

$\frac{1}{x} = \frac{\ln a}{\ln{(1+\frac{1}{z})}}$

Mnożąc obustronnie przez (1) otrzymujemy:

$\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{z \ln{(1+\frac{1}{z})}} = \frac{\ln a}{\ln{(1+\frac{1}{z})^z}}$

Teraz należy wykazać, że przy $x \to 0$ mianownik dąży do jednego. Otóż:

$z = \frac{1}{a^x - 1}$

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem, wobec ciągłości logarytmu:

$\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{\ln\lim\limits_{z \to \infty}(1+\frac{1}{z})^z}$

Granica w mianowniku dąży do e, więc mianownik dąży do $\ln e=\log_e e = 1\;$, co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnego

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

${(\log_a x)}^\prime=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_{a}(x+\Delta x)-\log_a(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_a \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)=$

$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x}\log_a \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}=\frac{1}{x}\log_a e=\frac{1}{x\ln a}$

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie a = e otrzymujemy: ${(\ln x)}^\prime=\frac{1}{x}\quad$

Własności

• $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\;$ dla $x,y>0\;$
• $\ln(x)<\ln(y)\;$ dla $0<x<y\;$
• $\frac{h}{1+h} \leqslant \ln(1+h) \leqslant h$ dla $h>-1$

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję $\ln:(0,\infty)\to\mathbb R$

• $\ln\left( \frac{x}{y}\right) =\ln(x)-\ln(y)\;$ dla $x,y>0\;$
• Jeśli ciąg $c_n\to 0,c_n>-1,c_n\ne0$, to:

$\frac{\ln(1+c_n)}{c_n}\to1$

• $\ln e^{x} = x\$,
• $\ e^{\ln x}=x$ dla x>0,
• $\ln x\ = \ln 10\cdot \log x\ \approx 2,303\ \log x\$
• $\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$
• $\int \frac{f^\prime (x)}{f(x)}dx=\ln |f(x) |+C$

Rozwinięcie w szereg Maclaurina

$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$ dla $-1<x\leqslant 1$

$\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n = (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots$ dla $0<x\leqslant 2$

Zobacz też

• logarytm
• logarytm dziesiętny