Logarytm naturalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres funkcji logarytm naturalny w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Logarytm naturalny (logarytm Nepera, logarytm hiperboliczny) – logarytm o podstawie e = 2,718 281 828…, gdzie e jest liczbą Eulera. Oznaczany jest typowo symbolem „ln”.

Nazwa „logarytm Nepera” pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka Johna Nepera, który posługiwał się logarytmami o podstawie zbliżonej do 1/e.

Logarytm naturalny z liczby a można zdefiniować jako pole pod wykresem funkcji 1/x w przedziale od 1 do a:

\ln(a) = \int\limits_{1}^{a} \frac{1}{x}\ \mathrm{d}x Logarytm naturalny ln(x) jako całka po funkcji 1/x

Logarytm jako granica[edytuj | edytuj kod]

Logarytm naturalny można zdefiniować również jako pewną granicę:

\ln a=\lim_{x \to 0} \frac{a^x-1}{x}

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Oznaczmy:

a^x - 1 = \frac{1}{z}
(1)

Wtedy a^x = \frac{1}{z} + 1. Logarytmując obustronnie przy podstawie e otrzymujemy:

x \ln a = \ln{(1+\frac{1}{z})}
\frac{1}{x} = \frac{\ln a}{\ln{(1+\frac{1}{z})}}

Mnożąc obustronnie przez (1) otrzymujemy:

\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{z \ln{(1+\frac{1}{z})}} = \frac{\ln a}{\ln{(1+\frac{1}{z})^z}}

Teraz należy wykazać, że przy x \to 0 mianownik dąży do jednego. Otóż:

z = \frac{1}{a^x - 1}

Gdy więc x dąży do zera, mianownik powyższego ułamka dąży do zera, więc z dąży do nieskończoności. Zatem, wobec ciągłości logarytmu:

\lim_{x \to 0}\frac{a^x-1}{x} = \frac{\ln a}{\ln\lim\limits_{z \to \infty}(1+\frac{1}{z})^z}

Granica w mianowniku dąży do e, więc mianownik dąży do \ln e=\log_e e = 1\;, co było do okazania.

Pochodna logarytmu naturalnego[edytuj | edytuj kod]

Ogólnie pochodna logarytmu wyrażona jest wzorem:

{(\log_a x)}^\prime=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_{a}(x+\Delta x)-\log_a(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\Delta x}\log_a \left(\frac{x+\Delta x}{x}\right)=
=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{x}\log_a \left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}}=\frac{1}{x}\log_a e=\frac{1}{x\ln a}

Czyli dla logarytmu naturalnego, gdzie a = e otrzymujemy: {(\ln x)}^\prime=\frac{1}{x}\quad

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • \ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)\; dla x,y>0\;
  • \ln(x)<\ln(y)\; dla 0<x<y\;
  • \frac{h}{1+h} \leqslant \ln(1+h) \leqslant h dla h>-1

Powyższe własności jednoznacznie definiują funkcję \ln:(0,\infty)\to\mathbb R

  • \ln\left( \frac{x}{y}\right) =\ln(x)-\ln(y)\; dla x,y>0\;
  • Jeśli ciąg c_n\to 0,c_n>-1,c_n\ne0, to:
\frac{\ln(1+c_n)}{c_n}\to1
  • \ln e^{x} = x\ ,
  • \ e^{\ln x}=x dla x>0,
  • \ln x\ = \ln 10\cdot \log x\ \approx 2,303\  \log x\
  • \int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C
  • \int \frac{f^\prime (x)}{f(x)}dx=\ln |f(x) |+C
  • \ln(x)\le x-1\;

Rozwinięcie w szereg Maclaurina[edytuj | edytuj kod]

\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots dla -1<x\leqslant 1
\ln(x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} (x-1) ^ n = (x - 1) - \frac{(x-1) ^ 2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \frac{(x-1)^4}{4} \cdots dla 0<x\leqslant 2

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]