Podstawa logarytmu naturalnego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera lub liczba Nepera) w przybliżeniu wynosi 2,7182818 (ciąg A001113 w OEIS), oznacza się ją literą e. Jest stałą matematyczną, liczba e wykorzystywana jest w wielu dziedzinach matematyki i fizyki.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Liczba e jest zdefiniowana na kilka równoważnych sposobów.

Granica ciągu[edytuj | edytuj kod]

Jako granica ciągu, e jest określana przez

e = \lim_{n\to\infty}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n
Dowód zbieżności

Wykażemy, że ciąg \{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}, gdzie a_n = \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny.

Przypomnijmy, że dla dodatnich liczb x_1,\ldots,x_{n+1} zachodzi następująca nierówność Cauchy'ego między ich średnią arytmetyczną a geometryczną:

\frac{x_1+\ldots+x_{n+1}}{n+1}\geqslant (x_1\cdot \ldots\cdot x_{n+1})^{1/(n+1)}
(1)

Rozważając  x_1 = \dots = x_n = 1+\tfrac{1}{n} oraz x_{n+1} = 1 otrzymujemy

 {{1+\tfrac{1}{n} + \dots + 1+\tfrac{1}{n} + 1} \over {n+1}} \geqslant \left((1+\tfrac{1}{n}) \dots (1+\tfrac{1}{n}) \cdot 1\right)^{1/(n+1)}

a stąd

\left(\tfrac{n+2} {n+1}\right)^{n+1} \geqslant \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n więc również  \left(1 + \tfrac 1 {n+1}\right)^{n+1} \geqslant \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n i a_{n+1}\geqslant a_n. Czyli ciąg (a_n)_n jest niemalejący.

Połóżmy  b_n = \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n+1} i zauważmy, że a_n\leqslant b_n ={1 \over \left(\tfrac{n}{n+1}\right)^{n+1}} = {1 \over \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}.

Z nierówności (1) zastosowanej do  x_1 = \dots = x_{n+1} = 1-\tfrac{1}{n+1} oraz x_{n+2} = 1 otrzymujemy, że:

 {{1-\frac{1}{n+1} + \dots +  1-\frac{1}{n+1} + 1} \over {n+2}} \geqslant \left(\left(1-\tfrac{1}{n+1}\right) \dots \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right) \cdot 1\right)^{1/(n+2)}.

Stąd  \left( \tfrac{n+1} {n+2} \right)^{n+2} \geqslant \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1} a więc też  \left(1-\tfrac{1}{n+2}\right)^{n+2} \geqslant \left(1-\tfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}. Czyli ciąg \Big( (1-\tfrac{1}{n+1})^{n+1}\Big)_{n\in\mathbb N} jest niemalejący. Ponieważ  b_n = {1 \over (1-\frac{1}{n+1})^{n+1}}, to możemy wywnioskować że ciąg (b_n) jest nierosnący, a stąd

 a_1 \leqslant a_2 \leqslant \ldots \leqslant a_n \leqslant b_n \leqslant \ldots \leqslant b_2 \leqslant b_1 .

Ciąg (a_n) jest więc niemalejący i ograniczony z góry (np. przez  b_1), a więc jest zbieżny.

Suma szeregu[edytuj | edytuj kod]

Jako suma szeregu, e jest określana przez

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots

gdzie n! jest silnią liczby n.

Przy pomocy całki[edytuj | edytuj kod]

Pole powierzchni pod hiperbolą jest równe 1

Liczbę e można także zdefiniować jako jedyną liczbę rzeczywistą taką że:

\int\limits_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}

(to znaczy, że liczba e to taka, że pole powierzchni pod hiperbolą  f(t)=1/t od 1 do e jest równe 1).

Przy pomocy funkcji[edytuj | edytuj kod]

Wykres funkcji f(x)=x^{1/x}

Liczbę e można również zdefiniować jako taki argument funkcji

f(x)=x^{1/x},    x>0

dla którego jej wartość jest największa.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Wzory na obliczenie e[edytuj | edytuj kod]

Granice ciągów[edytuj | edytuj kod]

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
 e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}

(oba to tzw. wzory Stirlinga)

e = \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{!n}
e = \lim_{n\to\infty} \left({\rm }\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}\right)

Szeregi nieskończone[edytuj | edytuj kod]

e= 2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{\ddots}}}}.
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}
e =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}
e =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}
e =   \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2
e =  \left [\frac{-12}{\pi^2}  \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}

Iloczyny nieskończone[edytuj | edytuj kod]

e=2\cdot\sqrt{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots=2\cdot\prod_{n=1}^{\infty}\sqrt[2^n]{\frac{\prod_{i=1}^{2^{n-1}}(2^n+2i)}{\prod_{i=1}^{2^{n-1}}(2^n+2i-1)}}
 \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }=\prod_{n=0}^{\infty}2^{(\ln(2)-1)^{2n}-(\ln(2)-1)^{2n+1}}

W 1980 roku, Nick Pippinger udowodnił wzór[2][3]

 e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots =2\prod_{n=1}^{\infty}\sqrt[2^n]{\frac{[(2^{n-1}-1)!!]^2[(2^n)!!]^2}{[(2^{n-1})!!]^2[(2^n-1)!!]^2}},

gdzie n!!, to silnia podwójna.

Kultura e[edytuj | edytuj kod]

W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki, a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π), w których długość każdego kolejnego słowa równa się kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:

"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"

Gdzie znak "!" oznacza cyfrę 0.

Inne interpretacje liczby e[edytuj | edytuj kod]

Wkładamy do pewnego banku jedną złotówkę. Załóżmy, że oprocentowanie wkładu (stopa procentowa) w skali rocznej wynosi 100%. Ale odsetki mogą być doliczane do kwoty podstawowej w różnorodny sposób. Jeśli będą obliczane po upływie roku, to na koniec roku będziemy mieli 2 złote. Jeśli będą dwa okresy kapitalizacji (czyli odsetki obliczane dwa razy w roku), to na koniec roku będziemy mieć \left(1 + \frac {1}{2}\right)^2, czyli 2,25 złotego. W przypadku kapitalizacji co kwartał otrzymamy \left(1 + \frac {1}{4}\right)^4, co w przybliżeniu wynosi 2,44 zł. Jeśli kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły (czyli liczba okresów dąży do nieskończoności) to na koniec roku otrzymamy \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac {1}{n}\right)^n czyli e złotych.

Dowód niewymierności e[edytuj | edytuj kod]

Używamy n-tego przybliżenia e, które zapisujemy e_n:

e_n = \sum_{k=0}^n {1 \over k!}

Szacujemy błąd e - e_n = \sum_{k=n+1}^{\infty} {1 \over k!} =

= {1 \over (n+1)!}\cdot \left(1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \dots\right) 
<

< {1 \over (n+1)!}\cdot \left(1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} + \dots\right) =

= {1 \over (n+1)!}\cdot {\frac{1}{1 - \frac{1}{n+1}}} = \frac{1}{n!\cdot n}

Z tego wynika, że e = e_n + \frac{\theta}{n!\cdot n} = \sum_{k=0}^n {1 \over k!} + \frac{\theta}{n!\cdot n}, gdzie 0 < \theta < 1

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności:

Załóżmy, że e jest liczbą wymierną. Czyli da się ją przedstawić w postaci \frac{p}{q} gdzie p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0.

W tym wzorze bierzemy tak duże n, żeby było większe od q.

Wówczas: \frac{p}{q} = \sum_{k=0}^n {1 \over k!} + \frac{\theta}{n!\cdot n}

Mnożąc stronami przez {n!} dostajemy: p \cdot \frac{n!}{q} = \sum_{k=0}^n {{n!} \over {k!}} + \frac{\theta}{n}

\frac{n!}{q} \in \mathbb{Z}, więc p \cdot \frac{n!}{q} \in \mathbb{Z}

{{n!} \over {k!}} \in \mathbb{Z}, więc \sum_{k=0}^n {{n!} \over {k!}} \in \mathbb{Z}

Zostały same liczby całkowite poza \frac{\theta}{n}, która całkowita nie jest.

To dowodzi sprzeczności, a więc i nieprawdziwości twierdzenia, że "e jest wymierne".

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Hermite, C. "Sur la fonction exponentielle." C. R. Acad. Sci. Paris 77, 18-24, 74-79, and 226-233, 1873.
  2. Weisstein, Eric W.: "Pippenger Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.. [dostęp 2013-02-27].
  3. Nick Pippinger. An Infinite Product for e. „Amer. Math. Monthly”. 87 (V), s. 391, Maj 1980 (ang.). 

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]