Logarytm

Wykresy logarytmów. Czerwony przy podstawie e, zielony przy podstawie 10, purpurowy przy podstawie 1,7

Logarytm (łac. [now.] logarithmus, w sensie stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos , „słowo”, w sensie proporcja, i ἀριθμός árithmós, „liczba”). Logarytm przy podstawie $a$ z liczby $b$ (symbolicznie $\log_a b$) oznacza liczbę $c$, będącą potęgą, do której podstawa $a$ musi być podniesiona, aby dać liczbę $b$, czyli

$\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b,$

przy czym $a, b > 0$ oraz $a \ne 1.$ Przykładowo $\log_2 8 = 3,$ gdyż $2^3 = 8.$

Kluczową własnością logarytmów jest fakt, iż służą one zamianie często czasochłonnego mnożenia na dużo prostsze dodawanie.

Logarytm naturalny

Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą $e$ równą w przybliżeniu $2{,}718281828.$ Zwyczajowo zamiast $\log_e x$ pisze się $\ln x.$ Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej $\exp,$ dla której $\exp(1) = e,$ postaci

$\exp(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!}$,

wtedy jej pochodna (również formalna) $(\exp x)' = \exp x,$ co oznacza, że $(\ln x)' = \tfrac{1}{x}$ zamiast $\log_a x = \tfrac{1}{x \ln a},$ ponieważ $\ln e = 1.$ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego $e$ jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny

Zapis bez indeksu $\log x$ albo $\operatorname{lg}\; x$ oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

$\log x=\operatorname{lg} x=\log_{10} x$

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności $\log(x)$ oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny. Dla dowolnej liczby $x\geqslant 1$ jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym $x$, np.

$\log 5083495{,}424=6{,}7061624$

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem.

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie $b$, należy użyć logarytmu o podstawie $b$.

Własności

Wprost z definicji:

$a^{\log_a b} = b$,

$\log_a 1 = 0$,

$\log_a a = 1$.

Z własności potęgi wynika również:

$\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$,

stąd też

$\log_a \tfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$,

oraz

$\log_a b^c = c\cdot \log_a b$,

$\log_a \sqrt[n]{b^c} = \tfrac{c}{n} \log_a b$,

i wreszcie

$\log_{a^n} b= \tfrac{1}{n} \log_a b$,

$\log_a b = \tfrac{1}{\log_b a}$,

a więc

$\log_a b \cdot \log_b a = 1$,

w szczególności

$\ln{10} \cdot \log e =1$.

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość:

$\frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x$

albo:

$\log_b x=\log_b a \log_a x$

Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach ($\log_b x$ i $\log_a x$ powyżej) są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Zachodzi również:

$a^{log_c b}=b^{log_c a}$

Każda liczba dodatnia ma logarytm rzeczywisty, ujemna jednak wyłącznie zespolony ponieważ $e^{\pi i} = -1$. Ponieważ potęga niezerowej liczby (nawet dla liczb zespolonych) nigdy nie wynosi zero, więc logarytm nie jest w zerze określony.

Jeżeli podstawa $a>1$, to:

$\lim_{x\to 0}\log_a x=-\infty$

$\lim_{x\to +\infty}\log_a x=+\infty$

dla $0<a<1$ zachodzi natomiast:

$\lim_{x\to 0}\log_a x=+\infty$

$\lim_{x\to +\infty}\log_a x=-\infty$

Można również zastosować logarytm wraz z funkcją wykładniczą, do obliczania dowolnych potęg (x i y dodatnie):

$x^y = a^{y\log_a x}$

jest to przydatne szczególnie na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

Liczby zespolone

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech $z$ będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

$\ln z = \ln |z|+i\operatorname{arg} z=\ln|z|+i(\phi+2k\pi)$

(1)

gdzie:

• $k$ jest dowolną liczbą całkowitą,
• $\ln |z|$ jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby $z$ (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
• $\operatorname{arg}$ to argument liczby zespolonej $z$
• $\phi$ to argument główny

W szczególności dla liczb zespolonych:

$\ln 1=2k\pi i$,

$\ln (-1)=(2k+1)\pi i$,

$\ln i=\frac{4k+1}{2}\pi i$

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych $k$. Przyjmując $k=0$ otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: $\operatorname{Ln}$. Inni przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej przekształcamy do logarytmu naturalnego analogicznie jak dla liczb rzeczywistych:

$\log_w z=\frac{\ln z}{\ln w}$ dla $z\ne 0$

gdzie:

• $w$ i $z$ są liczbami zespolonymi.
• $\ln z$ i $\ln w$ są dane wzorem (1)

Funkcja logarytmiczna

Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną określoną wzorem $f(x)=\log_a x$ przy ustalonej podstawie $a$.

Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej.

Kologarytm

Liczbę przeciwną do logarytmu z $x$ nazywało się niegdyś kologarytmem $x$ i oznaczało $\operatorname{clg} x$ lub $\operatorname{colog} x$. Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu $-\log x$. Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny

Logarytm dyskretny elementu $b$ (przy podstawie $a$) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita $c$, że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

$a^c = b$.

Zastosowania

Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych (zamieniano je na łatwe dodawanie ich logarytmów). Tablice logarytmiczne były podstawową pomocą do obliczeń naukowych, geodezyjnych, astronomicznych i inżynierskich. Dzisiaj, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, wyszły one właściwie z użytku podobnie jak suwak logarytmiczny.

Zobacz też

• logarytm całkowy
• logarytm binarny
• logarytm dyskretny
• neper