Logarytm

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykresy logarytmów. Czerwony przy podstawie e, zielony przy podstawie 10, purpurowy przy podstawie 1,7

Logarytm (łac. [now.] logarithmus, w sensie stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos , „słowo”, w sensie proporcja, i ἀριθμός árithmós, „liczba”). Logarytm przy podstawie a z liczby b (symbolicznie \log_a b) oznacza liczbę c, będącą potęgą, do której podstawa a musi być podniesiona, aby dać liczbę b, czyli

\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b,

przy czym a, b > 0 oraz a \ne 1. Przykładowo \log_2 8 = 3, gdyż 2^3 = 8.

Kluczową własnością logarytmów jest fakt, iż służą one zamianie często czasochłonnego mnożenia na dużo prostsze dodawanie.

Logarytm naturalny[edytuj | edytuj kod]

Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą e równą w przybliżeniu 2{,}718281828. Zwyczajowo zamiast \log_e x pisze się \ln x. Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej \exp, dla której \exp(1) = e, postaci

\exp(x) = \sum_{k = 0}^\infty \frac{x^k}{k!},

wtedy jej pochodna (również formalna) (\exp x)' = \exp x, co oznacza, że (\ln x)' = \tfrac{1}{x} zamiast ( \log_a x )' = \tfrac{1}{x \ln a}, ponieważ \ln e = 1. W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego e jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: logarytm dziesiętny.

Zapis bez indeksu \log x albo \operatorname{lg}\; x oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

\log x=\operatorname{lg} x=\log_{10} x

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności \log(x) oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby x > 1 \and x \not= 1 * 10 ^ n, n \in \mathbb{N} jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym x, np.

\log 5083495{,}424=6{,}7061624

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

\log 1 = 0, \log 10 = 1, \log 100 = 2, ...

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie b, należy użyć logarytmu o podstawie b.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wprost z definicji:

a^{\log_a b} = b
\log_a 1 = 0
\log_a a = 1.

Z własności potęgi wynika również:

\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c

stąd też

\log_a \tfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c

oraz

\log_a b^c = c\cdot \log_a b
\log_a \sqrt[n]{b^c} = \tfrac{c}{n} \log_a b

i wreszcie

\log_{a^n} b= \tfrac{1}{n} \log_a b
\log_a b = \tfrac{1}{\log_b a}

a więc

\log_a b \cdot \log_b a = 1

w szczególności

\ln{10} \cdot \log e =1

Wnioskiem z powyższych jest następująca równość:

\frac{\log_b x}{\log_b a} = \log_a x

albo:

\log_b x=\log_b a \log_a x

Ponieważ funkcje logarytmiczne o różnych podstawach (\log_b x i \log_a x powyżej) są do siebie proporcjonalne, więc podstawa logarytmu (o ile tylko jest liczbą większą od 1) jest w niektórych porównaniach nieistotna. Tak jest na przykład w teorii złożoności obliczeniowej przy określaniu czasu działania algorytmów w sensie asymptotycznym.

Zachodzi również:

a^{log_c b}=b^{log_c a}

Każda liczba dodatnia ma logarytm rzeczywisty, ujemna jednak wyłącznie zespolony ponieważ e^{\pi i} = -1[1]. Ponieważ potęga niezerowej liczby (nawet dla liczb zespolonych) nigdy nie wynosi zero, więc logarytm nie jest w zerze określony.

Jeżeli podstawa a>1, to:

\lim_{x\to 0}\log_a x=-\infty
\lim_{x\to +\infty}\log_a x=+\infty

dla 0<a<1 zachodzi natomiast:

\lim_{x\to 0}\log_a x=+\infty
\lim_{x\to +\infty}\log_a x=-\infty

Można również zastosować logarytm wraz z funkcją wykładniczą, do obliczania dowolnych potęg (x i y dodatnie):

x^y = a^{y\log_a x}

jest to przydatne szczególnie na komputerach (tzw. funkcja pow), na suwakach logarytmicznych lub przy użyciu gotowych tablic. W zastosowaniach praktycznych najczęściej używaną wartością a jest 2, e oraz 10.

Liczby zespolone[edytuj | edytuj kod]

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech z będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

\ln z = \ln |z|+i\operatorname{arg} z=\ln|z|+i(\phi+2k\pi)
(1)

gdzie:

W szczególności dla liczb zespolonych:

\ln 1=2k\pi i,
\ln (-1)=(2k+1)\pi i,
\ln i=\frac{4k+1}{2}\pi i

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych k. Przyjmując k=0 otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: \operatorname{Ln}. Inni[2] przeciwnie, wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej przekształcamy do logarytmu naturalnego analogicznie jak dla liczb rzeczywistych:

\log_w z=\frac{\ln z}{\ln w} dla z\ne 0

gdzie:

  • w i z są liczbami zespolonymi.
  • \ln z i \ln w są dane wzorem (1)

Funkcja logarytmiczna[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: funkcja logarytmiczna.

Często logarytm utożsamia się z funkcją logarytmiczną określoną wzorem f(x)=\log_a x przy ustalonej podstawie a.

Można ją zdefiniować także jako funkcję odwrotną do funkcji wykładniczej.

Kologarytm[edytuj | edytuj kod]

Liczbę przeciwną do logarytmu z x nazywało się niegdyś kologarytmem x i oznaczało \operatorname{clg} x lub \operatorname{colog} x. Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu -\log x. Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: logarytm dyskretny.

Logarytm dyskretny elementu b (przy podstawie a) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita c, że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

a^c = b.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Dawniej logarytmy były używane do szybkiego mnożenia liczb za pomocą tablic logarytmicznych (zamieniano je na łatwe dodawanie ich logarytmów). Tablice logarytmiczne były podstawową pomocą do obliczeń naukowych, geodezyjnych, astronomicznych i inżynierskich. Dzisiaj, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, wyszły one właściwie z użytku podobnie jak suwak logarytmiczny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. więcej w artykule o wzorze Eulera
  2. Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989, s. 255. ISBN 978-83-204-3364-7.