Nierówność Höldera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W analizie harmonicznej nierówność Höldera jest fundamentalną nierównością wiążącą przestrzenie Lp. Nazwana nazwiskiem matematyka Otto Höldera, została najpierw sformułowana przez L. J. Rogersa (1888) i ponownie odkryta przez Höldera (1889).

Nierówność Höldera jest używana do wykazania uogólnionej nierówności trójkąta w przestrzeni Lp, nierówności Minkowskiego oraz do ustalenia warunku dualności dla przestrzeni  L^p i  L^q jeśli p \neq 1 oraz p \neq \infty.

Nierówność Höldera[edytuj | edytuj kod]

Niech (Ω, μ) będzie przestrzenią z miarą oraz niech 1 ≤ pq ≤ ∞ będą wykładnikami sprzężonymi, tzn.

 \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1 .

Jeżeli fLp(Ω, μ) oraz gLq(Ω, μ), to fgL1(Ω, μ) oraz

\|f \cdot g\|_{L_1(\Omega,\mu)} \leqslant \|f\|_{L_p(\Omega,\mu)} \cdot \|g\|_{L_q(\Omega,\mu)}.

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy funkcje f i gliniowo zależne.

Najważniejsze przypadki szczególne[edytuj | edytuj kod]

\sum_{k=1}^n |x_k y_k| \leqslant \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^q \right)^{1/q}\;\;\;( x,y \in \mathbb{C}^n) .
  • Dla elementów xp, yq:
 \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n \cdot y_n| \leqslant \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |x_n|^p \right)^{1/p} \cdot \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} |y_n|^q \right)^{1/q}\;\;\;( x \in \ell_p, y\in \ell_q).
  • Niech (Ω, μ) będzie przestrzenią z miarą. Najogólniejszą wersją nierówności Höldera (której powyższe są szczególnymi przypadkami) jest nierówność
\left|\int_\Omega f(x)g(x)\,\mu(\mbox{d}x)\right|\leqslant \int_\Omega \bigg| f(x)g(x)\bigg| \,\mu(\mbox{d}x)\leqslant\left(\int_\Omega \left|f(x)\right|^p\,\mu(\mbox{d}x) \right)^{1/p}\cdot \left(\int\left|g(x)\right|^q\,\mu(\mbox{d}x)\right)^{1/q} \;\;\;(f\in L_p(\Omega), g\in L_q(\Omega))
W szczególności, gdy μ = P jest miarą probabilistyczną (tj. (Ω, P) jest przestrzenią probabilistyczną), nierówność tę można zapisać w postaci
 \mathbb{E}|XY| \leqslant \left(\mathbb{E}|X|^p\right)^{1/p} \cdot \left( \mathbb{E}|Y|^q \right)^{1/q},\;\;\;(X \in L_p(P), Y \in L_q(P)).
gdzie symbol E oznacza wartość oczekiwaną.

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Metodą indukcji matematycznej można pokazać następujące uogólnienie:

Niech p_k\geqslant 1, k=1,\ldots, n będą takie, że:

 \sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k}=1.

Załóżmy, że u_k\in L^{p_k}(S). Wtedy \prod_{k=1}^n u_k \in L^1(S) oraz

 \left\|\prod_{k=1}^n u_k\right\|_{\displaystyle L^1(S)}\leqslant \prod_{k=1}^n \|u_k\|_{\displaystyle L^{p_k}(S)}.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]