Przestrzeń Lp

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzenie p, Lp, Lp(μ) - dla ustalonej liczby dodatniej p - klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg p-tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w p-tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku p ≥ 1, to w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie 2 oraz L2 są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie p są szczególnymi przypadkami przestrzeni Lp(μ).

Przestrzenie Lp znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

Skończenie wymiarowe przestrzenie pn[edytuj | edytuj kod]

Sfera jednostkowa w przestrzeni \scriptstyle \ell^2_{3/2}

W przestrzeni Kn, gdzie K jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego p > 0 rozważać funkcję

\|\cdot\|_p\colon K^n \to [0,\infty)

daną wzorem

\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}},\;\;x=(x_1, x_2, \dots, x_n),

Dla 1 ≤ p < ∞ funkcja ta jest normą wraz z którą Kn jest n-wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem pn. W przypadku p = 2 norma przestrzeni 2n jest normą euklidesową.

Przestrzenie p[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Przestrzeń l1.

Ciągi liczbowe (o wyrazach z z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

  • dodawanie:
(x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots)+(y_1, y_2, \ldots, y_n,\ldots)=(x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n,\ldots),
  • mnożenie przez skalar:
\lambda(x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n,\ldots),

gdzie \lambda jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych V z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego 0 < p < ∞ zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych x = (xn) dla których

\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}<\infty

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni V.

Dopuszczając p = ∞, definiuje się

\|x\|_\infty=\sup\{|x_n|\colon\, n\in\mathbb{N}\}.

Przestrzenie p to podprzestrzenie liniowe V dla których

\ell_p=\{x\in V\colon \|x\|_p<\infty \}.

Powyższy wzór określa normę w p dla p ∈ [1, ∞]. Warunek trójkąta dla normy \|\cdot\|_p w przypadku p < ∞ wynika z nierówności Minkowskiego:

\left(\sum_{n=1}^\infty[|a_n|+|b_n|]^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\leqslant \left(\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}+\left(\sum_{n=1}^\infty |b_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}},

gdzie (an), (bn) są elementami p.

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

\sum_{n=1}^{\infty}|a_nb_n|\leqslant \left(\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^\infty |b_n|^q\right)^{\tfrac{1}{q}},

gdzie gdzie (an) ∈ p, (bn) ∈ q , 1/p + 1/q =1; umownie 1/∞ =0.

Norma w przestrzeniach p jest zupełna, a więc przestrzenie pprzestrzeniami Banacha.

Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni ℓp, p ∈ [1, ∞), gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni ℓ. Ciąg o wyrazie ogólnym 1/n nie należy do przestrzeni ℓ1, jednak dla każdego p > 1 należy on do przestrzeni ℓp.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzenie ℓ1 i ℓ nie są refleksywne, są natomiast w przypadku 1 < p < ∞ przestrzenie ℓp są. Dla p ∈ [1, ∞) przestrzeń sprzężona do ℓp jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ℓq gdzie 1 / p + 1 / q = 1 (konwencja: 1 / ∞ = 0). Dualność ta wyznaczona jest przez związek
\langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_ny_n,\;\;x=(x_n)_{n=1}^\infty\in \ell_p,\; y=(y_n)_{n=1}^\infty\in \ell_q.

Przestrzenie Lp(μ)[edytuj | edytuj kod]

Niech p > 0 będzie liczbą rzeczywistą oraz niech (Ω, F, μ) będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną. Niech L(μ) będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzine wszystkich funkcji mierzalnych na Ω względen relacji równoważności danej warunkiem f ~ g wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {xΩ: f(x) ≠ g(x)} jest μ-miary zero. Zbiór

L_p(\mu) = \{f\in L(\mu)\colon \int\limits_\Omega |f(x)|^p\, \mu(\mbox{d}x)<\infty\}

ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej.

Przestrzenie Lp dla p ≥ 1[edytuj | edytuj kod]

Niech p ∈ [1, ∞). Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór

\|f\|_{L_p(\mu)}=\left( \int\limits_\Omega |f(x)|^p\, \mu(\mbox{d}x)\right)^{\tfrac{1}{p}}

definiuje normę przestrzeni Lp(μ). Norma ta jest zupełna, a więc Lp(μ) jest przestrzenią Banacha. Gdy Ω jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni Euklidesowej, symbolem Lp(Ω) oznacza się przestrzeń Lp(μ), gdzie μ jest miarą Lebesgue'a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzboirów zbioru Ω.

Gdy miara μ jest skończona, to zachodzą inklucje Lp(μ) ⊆ Lq(μ) o ile tylko pq (włączając przypadek p = ∞, zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy μ jest nieskończona, tj. μ(Ω) = ∞ powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład, dla ustalonego p ≥ 1 funkcja

f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{p}}(\ln^2 x + 1)}\;\;(x>0)

należy do Lp(0, ∞) ale nie należy do Lr(0, ∞), gdy rp.

Przestrzeń L[edytuj | edytuj kod]

Symbolem L(μ) oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że

{\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega}|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|\colon\, x\in \Omega\setminus A\}\colon\, A\in \mathcal{A}, \mu(A)=0\}<\infty,

z normą

\|f\|= {\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega}|f(x)|.

Przestrzenie Lp dla 0 < p < 1[edytuj | edytuj kod]

W przypadku 0 < p < 1 nadal można mówić o przestrzeniach Lp, nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).

Dla liczb nieujemnych a,b oraz liczby 0 < p < 1 znana jest następująca nierówność:

(a+b)^p\leqslant a^p+b^p,

z której wynika, że

\Delta_p(f+g)\leqslant \Delta_p(f)+\Delta_p(g),

przy czym Δp(f) = ∫ | f(x) |p μ(dx). Na mocy powyższego, wzór

d(f,g)=\Delta_p(f-g)

określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni Lp(μ). Metryka ta jest zupełna. W szczególności, Lp(μ) ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej, której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul

B_r=\{f\in L_p(\mu)\colon\; \Delta_p(f)<r\}\;(r>0).

Brak lokalnej wypukłości[edytuj | edytuj kod]

Dla każej liczby r > 0 zachodzi związek

B_1=r^{-\frac{1}{p}}B_r,

więc kula B1 jest ograniczona, tj. przestrzeń Lp(μ) jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń Lp(μ). Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech Y będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech B będzie jej bazą otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli T: Lp(μ) → Y jest operatorem liniowym i ciągłym oraz W jest elementem bazy B, to T-1(W) jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem Lp(μ), tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji T(Lp(μ)) zawiera się w każdym elemencie bazy B, tj. T jest operatorem zerowym.

Nierówności Höldera i Minkowskiego[edytuj | edytuj kod]

Dla przestrzeni Lp(μ) (0< p <1) istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech 0< p <1 oraz niech pˊ = p / (p - 1). Wówczas dla fLp(μ), gLpˊ(μ) spełniających warunek 0 < Δpˊ(g) < ∞ zachodzi oszacowanie

\int\limits_\Omega|f(t)g(t)|\mu(\mbox{d}t)\leqslant \left(\int\limits_\Omega|f(t)|^p\mu(\mbox{d}t)\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int\limits_\Omega|g(t)|^{p^\prime}\mu(\mbox{d}t)\right)^{\frac{1}{p^\prime}}.

Nierówność Minkowskiego: Dla 0< p <1 oraz f, gLp(μ) zachodzi oszacowanie:

\Delta_p(|f|+|g|)^{\frac{1}{p}}\leqslant \Delta_p(f)^{\frac{1}{p}}+\Delta_{p}(g)^{\frac{1}{p}}.

Przypisy