Przestrzeń Lp

Przestrzenie ℓ_p, L_p, L_p(μ) - dla ustalonej liczby dodatniej p - klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: takich ciągów liczbowych, że szereg p-tych potęg modułów ich wyrazów jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w p-tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku p ≥ 1, to w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie ℓ₂ oraz L₂ są ponadto przestrzeniami Hilberta z odpowiednio zdefiniowanym iloczynem skalarnym. Przestrzenie ℓ_p są szczególnymi przypadkami przestrzeni L_p(μ).

Przestrzenie L_p znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

Skończenie wymiarowe przestrzenie ℓ_pⁿ

Kula jednostkowa w przestrzeni $\scriptstyle \ell^2_{3/2}$

W przestrzeni Kⁿ, gdzie K jest ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego p > 0 rozważać funkcję

$\|\cdot\|_p\colon K^n \to [0,\infty)$

daną wzorem

$\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}},\;\;x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$,

Dla 1 ≤ p < ∞ funkcja ta jest normą wraz z którą Kⁿ jest n-wymiarową przestrzenią Banacha, oznaczaną symbolem ℓ_pⁿ. W przypadku p = 2 norma przestrzeni ℓ₂ⁿ jest normą euklidesową.

Przestrzenie ℓ_p

Ciągi liczbowe (o wyrazach z z ciała liczb rzeczywistych bądź zespolonych) można interpretować jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

• dodawanie:

$(x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots)+(y_1, y_2, \ldots, y_n,\ldots)=(x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n,\ldots),$

• mnożenie przez skalar:

$\lambda(x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n,\ldots),$

gdzie $\lambda$ jest skalarem.

Zbiór wszystkich ciągów liczbowych $V$ z określonymi wyżej działaniami jest przestrzenią liniową nad ciałem z którego pochodzą wyrazy rozważanych ciągów. Dla ustalonego 0 < p < ∞ zbiór tych wszystkich ciągów liczbowych x = (x_n) dla których

$\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}<\infty$

tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni $V$.

Dopuszczając p = ∞, definiuje się

$\|x\|_\infty=\sup\{|x_n|\colon\, n\in\mathbb{N}\}.$

Przestrzenie ℓ_p to podprzestrzenie liniowe V dla których

$\ell_p=\{x\in V\colon \|x\|_p<\infty \}$.

Powyższy wzór określa normę w ℓ_p dla p ∈ [1, ∞]. Warunek trójkąta dla normy $\|\cdot\|_p$ w przypadku p < ∞ wynika z nierówności Minkowskiego:

$\left(\sum_{n=1}^\infty[|a_n|+|b_n|]^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\leqslant \left(\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}+\left(\sum_{n=1}^\infty |b_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}$,

gdzie (a_n), (b_n) są elementami ℓ_p.

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

$\sum_{n=1}^{\infty}|a_nb_n|\leqslant \left(\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\left(\sum_{n=1}^\infty |b_n|^q\right)^{\tfrac{1}{q}}$,

gdzie gdzie (a_n) ∈ ℓ_p, (b_n) ∈ ℓ_q , 1/p + 1/q =1; umownie 1/∞ =0.

Norma w przestrzeniach ℓ_p jest zupełna, a więc przestrzenie ℓ_p są przestrzeniami Banacha.

Przykładowo, niezerowy ciąg stały nie należy do żadnej przestrzeni ℓ_p, p ∈ [1, ∞), gdyż nie jest sumowalny w żadnej potędze. Jest on jednak ograniczony, więc jest on elementem przestrzeni ℓ_∞. Ciąg o wyrazie ogólnym 1/n nie należy do przestrzeni ℓ₁, jednak dla każdego p > 1 należy on do przestrzeni ℓ_p.

Własności

• Przestrzenie ℓ₁ i ℓ_∞ nie są refleksywne, są natomiast w przypadku 1 < p < ∞ przestrzenie ℓ_p są. Dla p ∈ [1, ∞) przestrzeń sprzężona do ℓ_p jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią ℓ_q gdzie 1 / p + 1 / q = 1 (konwencja: 1 / ∞ = 0). Dualność ta wyznaczona jest przez związek

$\langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_ny_n,\;\;x=(x_n)_{n=1}^\infty\in \ell_p,\; y=(y_n)_{n=1}^\infty\in \ell_q.$

• Przestrzeń ℓ_∞ jest nieośrodkowa, podczas gdy dla p ∈ [1, ∞) przestrzenie ℓ_p są ośrodkowe.
• Przestrzenie ℓ_p są jednostajnie wypukłe dla 1 < p < ∞.
• Przestrzeń ℓ_p jest (izomorficzna z) przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2.

Przestrzenie L_p(μ)

Niech p > 0 będzie liczbą rzeczywistą oraz niech (Ω, F, μ) będzie przestrzenią z miarą σ-skończoną. Niech L(μ) będzie zbiorem klas abstrakcji relacji równoważności w rodzine wszystkich funkcji mierzalnych na Ω względen relacji równoważności danej warunkiem f ~ g wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {x ∈ Ω: f(x) ≠ g(x)} jest μ-miary zero. Zbiór

$L_p(\mu) = \{f\in L(\mu)\colon \int\limits_\Omega |f(x)|^p\, \mu(\mbox{d}x)<\infty\}$

ma naturalną strukturę przestrzeni liniowej.

Przestrzenie L_p dla p ≥ 1

Niech p ∈ [1, ∞). Z nierówności Minkowskiego wynika, że wzór

$\|f\|_{L_p(\mu)}=\left( \int\limits_\Omega |f(x)|^p\, \mu(\mbox{d}x)\right)^{\tfrac{1}{p}}$

definiuje normę przestrzeni L_p(μ). Norma ta jest zupełna, a więc L_p(μ) jest przestrzenią Banacha. Gdy Ω jest mierzalnym podzbiorem przestrzeni Euklidesowej, symbolem L_p(Ω) oznacza się przestrzeń L_p(μ), gdzie μ jest miarą Lebesgue'a zacieśnioną do rodziny mierzalnych podzboirów zbioru Ω.

Gdy miara μ jest skończona, to zachodzą inklucje L_p(μ) ⊆ L_r(μ) o ile tylko p ≥ q (włączając przypadek p = ∞, zdefiniowany niżej). W przypadku, gdy μ jest nieskończona, tj. μ(Ω) = ∞ powyższe inkluzje nie zachodzą. Na przykład, dla ustalonego p ≥ 1 funkcja

$f(x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{p}}(\ln^2 x + 1)}\;\;(x>0)$

należy do L_p(0, ∞) ale nie należy do L_r(0, ∞), gdy r ≠ p.

Przestrzeń L_∞

Symbolem L_∞(μ) oznacza się przestrzeń funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich zespolonych funkcji mierzalnych, że

${\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega}|f(x)|:=\inf\{\sup\{|f(x)|\colon\, x\in \Omega\setminus A\}\colon\, A\in \mathcal{A}, \mu(A)=0\}<\infty$,

z normą

$\|f\|= {\mbox{ess sup}}_{x\in \Omega}|f(x)|$.

Przestrzenie L_p dla 0 < p < 1

W przypadku 0 < p < 1 nadal można mówić o przestrzeniach L_p, nie mają już one jednak struktury przestrzeni Banacha (nie są nawet lokalnie wypukłe).

Dla liczb nieujemnych a,b oraz liczby 0 < p < 1 znana jest następująca nierówność:

$(a+b)^p\leqslant a^p+b^p,$

z której wynika, że

$\Delta_p(f+g)\leqslant \Delta_p(f)+\Delta_p(g),$

przy czym Δ_p(f) = ∫ | f(x) |^p μ(dx). Na mocy powyższego, wzór

$d(f,g)=\Delta_p(f-g)$

określa metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia w przestrzeni L_p(μ). Metryka ta jest zupełna. W szczególności, L_p(μ) ma strukturę zupełnej liniowo-metrycznej, której bazę otoczeń zera tworzy rodzina kul

$B_r=\{f\in L_p(\mu)\colon\; \Delta_p(f)<r\}\;(r>0)$.

Brak lokalnej wypukłości

Dla każej liczby r > 0 zachodzi związek

$B_1=r^{-\frac{1}{p}}B_r$,

więc kula B₁ jest ograniczona, tj. przestrzeń L_p(μ) jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż zbiór pusty i cała przestrzeń L_p(μ). Brak lokalnej wypukłości prowadzi do następującej konsekwencji: Niech Y będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech B będzie jej bazą otoczeń otoczeń zera złożoną ze zbiorów wypukłych. Jeśli T: L_p(μ) → Y jest operatorem liniowym i ciągłym oraz W jest elementem bazy B, to T^-1(W) jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem L_p(μ), tj. musi być on już równy całej przestrzeni. W konsekwencji T(L_p(μ)) zawiera się w każdym elemencie bazy B, tj. T jest operatorem zerowym.

Nierówności Höldera i Minkowskiego

Dla przestrzeni L_p(μ) (0< p <1) istnieją odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech 0< p <1 oraz niech pˊ = p / (p - 1). Wówczas dla f ∈ L_p(μ), g ∈ L_pˊ(μ) spełniających warunek 0 < Δ_pˊ(g) < ∞ zachodzi oszacowanie

$\int\limits_\Omega|f(t)g(t)|\mu(\mbox{d}t)\leqslant \left(\int\limits_\Omega|f(t)|^p\mu(\mbox{d}t)\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int\limits_\Omega|g(t)|^{p^\prime}\mu(\mbox{d}t)\right)^{\frac{1}{p^\prime}}$.

Nierówność Minkowskiego: Dla 0< p <1 oraz f, g ∈ L_p(μ) zachodzi oszacowanie:

$\Delta_p(|f|+|g|)^{\frac{1}{p}}\leqslant \Delta_p(f)^{\frac{1}{p}}+\Delta_{p}(g)^{\frac{1}{p}}$.