Optimum Pareto

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Optimum Pareta)
Skocz do: nawigacja, szukaj

Optimum w sensie Pareto (czy efektywność w sensie Pareto, efektywność Pareto) – termin ekonomiczny oznaczający taki podział dostępnych dóbr, że nie można poprawić sytuacji jednego podmiotu (dostarczyć mu większej ilości dóbr) nie pogarszając sytuacji któregokolwiek z pozostałych podmiotów. Nazwa terminu pochodzi od nazwiska włoskiego ekonomisty - Vilfredo Pareto.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy na przykład, że rozpatrujemy dwie osoby, Kowalskiego i Malinowskiego. Kowalski ma początkowo pewien zasób chleba, a Malinowski pewien zasób wody. Ponieważ obaj chcieliby mieć i jedno i drugie dobro, to zaczną wymieniać chleb na wodę.
Jeżeli Kowalski ma tylko chleb, to pierwszy kubek wody będzie dla niego bardzo cenny i skłonny będzie do oddania dużej ilości chleba. Analogicznie, Malinowski będzie skłonny wymienić dużą ilość wody w zamian za kromkę chleba. Zgodnie z prawem malejącej użyteczności krańcowej w miarę kontynuowania wymiany ich skłonność do poświęcania jednego dobra w zamian za drugie będzie maleć. Ostatecznie osiągnięty zostanie taki punkt, w którym dalsza wymiana nie będzie już możliwa. Kowalski za kolejną kromkę chleba będzie sobie życzyć coraz więcej wody, a Malinowski za kolejny kubek wody będzie chciał coraz więcej chleba.
W ten sposób osiągnięty został punkt optimum w sensie Pareto. Jeżeli bowiem chcielibyśmy Kowalskiemu dać kolejny kubek wody, to musielibyśmy zmusić Malinowskiego do wymiany, pogarszając tym samym jego sytuację (albowiem, gdyby jego sytuacja miała się poprawić, to do wymiany doszłoby dobrowolnie).

Wolny rynek[edytuj | edytuj kod]

Warto zauważyć, że wolna wymiana dóbr, przy założeniu braku istnienia kosztów transakcyjnych, prowadzi do efektywnej alokacji w sensie Pareto. Co więcej, jeżeli alokacja nie jest efektywna w sensie Pareto, to można poprawić sytuację niektórych uczestników bez pogarszania sytuacji innych, co jest bardzo pożądane.

Efektywność Pareto a interes społeczny[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ efektywność w sensie Pareto odwołuje się do indywidualnych preferencji, to nie uwzględnia interesu społecznego, co jest największym ograniczeniem stosowania tego kryterium.

Rozważmy na przykład budowę drogi. W interesie mieszkańców jest budowa drogi, jednak w tym celu należy wykupić kilka działek. Działki te można kupić w drodze negocjacji z właścicielami, jednak okazuje się, że jeden z nich jest tak emocjonalnie przywiązany do danego terenu, że nie chce sprzedać działki za żadne pieniądze. Sytuacja, w której droga nie powstaje jest efektywna w sensie Pareto, albowiem nie udało się poprawić położenia mieszkańców bez pogarszania położenia jednego z właścicieli.

Innym skrajnym przykładem alokacji efektywnej w sensie Pareto jest taki podział dóbr, w którym wszystkie dobra są u jednej osoby, a pozostałe nie mają nic. Taka alokacja również jest efektywna w sensie Pareto.

Ze względu na powyższe ograniczenia ekonomiści częściej używają innego kryterium efektywności, to jest kryterium Kaldora-Hicksa.

Stabilność ewolucyjna[edytuj | edytuj kod]

Efektywność w sensie Pareto jest tak ogólna, że zaskakujące wydawałyby się sytuacje, które jej nie wykazują.

Nie zawsze jednak strategia stabilna ewolucyjnie jest efektywna w sensie Pareto.

Wyobraźmy sobie populacje zwierząt, między którymi dochodzi do konfliktów o zasoby. Zwierzę może wtedy przyjąć strategię walki lub strategię pokazów siły, każdą z pewnym prawdopodobieństwem. Przyjmijmy, że zasób będący przedmiotem konfliktu jest wart 10 punktów i zyski zwierzęcia w każdej sytuacji przedstawiają się następująco:
  • Jeśli jedno ze zwierząt przyjmuje strategie walki, drugie strategie pokazów siły, to drugie zawsze ucieka, tak więc pierwsze zyskuje 10 punktów, drugie 0.
  • Jeśli oba zwierzęta walczą, tracą na tym po 30 punktów. Jedno z nich otrzymuje zasób wartości 10 punktów, średnia strata wynosi więc 25 punktów.
  • Jeśli oba zwierzęta ograniczają się do pokazów siły, ze względu na stracony czas tracą po 2 punkty. Jedno ze zwierząt wygrywa zasób, zatem średni zysk wynosi 3 punkty.

Jeśli p to prawdopodobieństwo przyjęcia postawy walki przez przeciwnika, to zyski z każdej strategii wynoszą:

  • Strategia walki: -25 p + 10 (1-p) = 10 - 35 p
  • Strategia pokazów siły: 0 p + 3 (1-p) = 3 - 3 p

Jeśli jedna ze strategii jest bardziej opłacalna niż druga, jej udział w populacji się zwiększy, zatem p ustali się na poziomie w którym obie strategie będą jednakowo opłacalne:

10 - 35 p = 3 - 3p
7 = 32 p
p = \frac{7}{32} \approx 22\%

Średni zysk wynosi więc:

10 - 35 p = 3-3p \approx 2.34

Gdyby jednak wszystkie zwierzęta zdecydowały się na strategię pokazów siły, zysk wzrósłby do 3, strategia ewolucyjnie stabilna nie jest więc efektywna w sensie Pareto.

Zastosowanie w technice[edytuj | edytuj kod]

Przykład frontu Pareto. Punkty prezentują możliwe rozwiązania. Mniejsze wartości są preferowane w stosunku do większsych. Punkt C nie należy do frontu Pareto, ponieważ jest zdominowany zarówno przez punkt A jak i punkt B. Punkty A i B nie są ściśle zdominowane przez inne, i tym samym należą do frontu Pareto.

Optimum Pareto jest także użyteczne w zastosowaniach technicznych. Mając dany zbiór możliwych rozwiązań danego zagadnienia i sposób ich oceny możemy wyznaczyć tzw. front Pareto (nazywany także zbiorem Pareto), czyli zbiór rozwiązań optymalnych w sensie Pareto. Poprzez ograniczenie zbioru wszystkich możliwych rozwiązań do podzbioru rozwiązań Pareto optymalnych wybór końcowego rozwiązania przez osobę decydującą ograniczony jest do tego podzbioru, co ułatwia podjęcie decyzji.

Zapis formalny[edytuj | edytuj kod]

Front Pareto P(Y) może być formalnie opisany w następujący sposób. Rozważmy proces optymalizacyjny (szukanie minimum) z wielowartościową funkcją celu f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m. Zapis ten oznacza, że sterując liczbą n parametrów otrzymujemy m-elementową odpowiedź. Niech X będzie zbiorem z przestrzeni \mathbb{R}^n składającym się z wektorów parametrów, które są dopuszczalne biorąc pod uwagę ograniczenia fizyczne i inżynierskie, zaś Y obrazem X poprzez f, tzn.

Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}.

Następnie ze zbioru Y wybierane są wektory, które nie są ściśle zdominowane, tzn. zachodzi relacja:

\forall_i y_i\leq y_i^{*} \and y\ne y^{*}

co symbolicznie zapisywane jest jako:

y \prec y^{*}

Oznacza to, że punkt y \in \mathbb{R}^m\; jest preferowany w stosunku do innego punktu y^{*} \in \mathbb{R}^m\; w przypadku gdy celem jest minimalizacja funkcji celu. Innymi słowy y dominuje y^{*}, lub y^{*} jest zdominowany przez y. Zbiór niezdominowanych rozwiązań tworzy front Pareto:

P(Y) = \{ y \in Y: \; \{y^{*} \in Y:\; y^{*} \prec y, y^{*} \neq y \; \} = \empty \} .

Należy zwrócić uwagę, że powyższa definicja frontu Pareto odpowiada sytuacji, gdy preferowane są wartości mniejsze w stosunku do większsych.

Algorytmy do obliczania frontu Pareto w przypadku skończonego zbioru alternatyw wykorzystywane i badane są w dziedzinach takich jak informatyka, energetyka[1], inżynieria lądowa[2] czy projektowanie silników odrzutowych[3].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy