Potencjał wektorowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Potencjał wektorowy pola wektorowego – pojęcie w analizie wektorowej sformułowane w analogii do pojęcia potencjału skalarnego. Przykładem potencjału wektorowego jest potencjał magnetyczny w elektrodynamice klasycznej.

Potencjałem wektorowym pola \mathbf{B} nazywamy taką funkcję \mathbf{A} (również będącą polem wektorowym), której rotacja jest tożsama z polem \mathbf{B}[1].

\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}

Definicja ta nie określa funkcji \mathbf{A} jednoznacznie, z uwagi na liniowość operatora rotacji i fakt, że rotacja gradientu pola skalarnego jest zerowa. W konsekwencji, dla dowolnego pola skalarnego f, różniczkowalnego w sposób ciągły, zachodzi równość

 \nabla \times \mathbf{A} = \nabla \times (\mathbf{A} + \nabla f) .

Potencjał wektorowy można wprowadzić tylko dla pola bezźródłowego (o zerowej dywergencji)[1], co zdeterminowane jest przez tożsamość

\nabla \cdot \nabla \times \mathbf{A} = 0.

Jeżeli pole \mathbf{B} jest bezźródłowe, a do tego znika w nieskończoności, to jego potencjał wektorowy \mathbf{A} określony jest całką po całej przestrzeni V

\mathbf{A} = \int_{V} \frac{ \nabla \times \mathbf{B} }{ 4 \pi | \mathbf{r} - \mathbf{r}' | } d^3 \mathbf{r}',

zgodnie z twierdzeniem Helmholtza[2].

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Eric W. Weisstein: Vector Potential (ang.). W: MathWorld--A Wolfram Web Resource [on-line]. wolfram.com. [dostęp 2014-03-17].
  2. Eric W. Weisstein: Helmholtz's theorem (ang.). W: MathWorld--A Wolfram Web Resource [on-line]. wolfram.com. [dostęp 2014-03-17].