Rotacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy operatora różniczkowego. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Rotacja lub wirowośćoperator różniczkowy działający na pole wektorowe \bold F, tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez \operatorname{rot} lub \operatorname{curl} (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako dF.

Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla \nabla i wektora \bold F:

\mathbf B = \operatorname{rot} (\mathbf F)= \nabla \times \mathbf F.

W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:

d(G \circ F)=i_{rot(F)}\Omega

gdzie:

(G \circ F)=g(F,)
g - tensor metryczny,
i_{rot(F)}\Omega - zwężenie formy objętości \Omega z rot(F).

Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich[edytuj | edytuj kod]

W kartezjańskim układzie współrzędnych F = [F_x, F_y, F_z] mamy więc

\begin{bmatrix}
{\partial \over \partial x} \\  \\
{\partial \over \partial y} \\  \\
{\partial \over \partial z}
\end{bmatrix} \times F= \begin{bmatrix}
{\partial F_z \over \partial y} - {\partial F_y \over \partial z} \\ \\
{\partial F_x \over \partial z} - {\partial F_z \over \partial x} \\ \\
{\partial F_y \over \partial x} - {\partial F_x \over \partial y}
\end{bmatrix}.
Notacja macierzowa

W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:

\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
 F_x & F_y & F_z \end{vmatrix},

gdzie \mathbf i, \mathbf j, \mathbf kwersorami osi x, y, z układu współrzędnych.

Całość rozpisujemy w następujący sposób:

\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}  - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}

Rotacja w innych układach współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

W układzie współrzędnych walcowych[1]:

 \nabla \times \bold{F}(\rho, \varphi, z) = \left(\frac{1}{\rho} \frac{\partial F_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial F_\varphi}{\partial z} \right) \mathbf e_\rho + \left(\frac{\partial F_\rho}{\partial z}- \frac{\partial F_z}{\partial \rho}\right) \mathbf e_\varphi + \left(\frac{1}{\rho} \frac{\partial \rho F_\varphi}{\partial \rho} - \frac{1}{\rho} \frac {\partial F_\rho}{\partial \varphi} \right) \mathbf e_z

W układzie współrzędnych sferycznych[1]:

 \nabla \times \bold{F}(r, \varphi, \theta) = \left[\frac{1}{r sin \theta} \left( \frac{\partial}{\partial \theta} \left(sin\theta F_\varphi \right) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \varphi} \right) \right] \mathbf e_r + \left[ \frac{1}{r} \frac{\partial (rF_\theta)}{\partial r} -\frac{1}{r} \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right] \mathbf e_\varphi + \left[ \frac{1}{r sin \theta} \frac{\partial F_r}{\partial \varphi} - \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial r} \left( rF_\varphi \right) \right)\right] \mathbf e_\theta

Notacja Einsteina[edytuj | edytuj kod]

W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:

(\nabla \times F)_k = \epsilon_{k\ell m} \partial_\ell F_m

Własności rotacji[edytuj | edytuj kod]

Oznaczając przez F, G pola wektorowe, przez f pole skalarne dla a, b \in \mathbb R zachodzą następujące własności:

\nabla\times \left(a\mathbf F + b\mathbf G \right) = 
a\nabla \times \mathbf F + b\nabla \times \mathbf G,
\nabla \times \nabla f = \mathbf 0,
  • rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
\nabla\times \left(f \mathbf F \right) = 
\nabla f \times \mathbf F +f \nabla\times\mathbf F,
\nabla \times \left( \mathbf F \times \mathbf G \right) = 
\left( \mathbf G \cdot \nabla \right)\mathbf F - \left( \mathbf F \cdot \nabla \right) \mathbf G
+ \mathbf F \left(\nabla \cdot \mathbf G \right) - \mathbf G \left( \nabla \cdot \mathbf F \right),
  • rotacja z rotacji pola wektorowego F:
\nabla \times \left( \nabla \times \mathbf F \right) =
\nabla \left( \nabla \cdot \mathbf F \right) - \Delta \mathbf F.
  • każde pole o zerowej rotacji (\nabla \times F = 0) można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że F = - \nabla V); zob. twierdzenie Helmholtza.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIX. Warszawa: PWN, 2002, s. 676–677. ISBN 83-01-11658-7.