Pole wektorowe

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni \mathbb{R}^2
Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni \mathbb{R}^3

Pole wektorowefunkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, \mu) będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta (H_x)_{x\in X}[1]. Elementy produktu \prod_{x\in X}H_x nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól \mu-mierzalnych nazywamy rodzinę \Gamma=(h^\alpha)_{\alpha \in \Alpha} spełniającą warunki:

  1. funkcja X\ni x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x\in\mathbb{C} jest \mu-mierzalna dla \alpha, \beta\in \Alpha.
  2. \mbox{lin}\{(h^\alpha(x))_{\alpha\in\Alpha}\}=H_x[2] dla każdego x\in X.

Pole wektorowe

h\in \prod_{x\in X}H_x

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x\mu-mierzalne.

Pola \mu-mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu \prod_{x\in X}H_x[3]

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

Badaniem pól zajmuje się teoretyczny dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Wikimedia Commons

Przypisy

  1. Dokładniej rodzinę przestrzeni Hilberta (H_x, (\cdot | \cdot )_x), \; x\in X.
  2. Zob. podprzestrzeń liniowa.
  3. Produkt przestrzeni liniowych jest przestrzenią liniową.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.