Pole wektorowe

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni $\mathbb{R}^2$

Diagram ilustrujący pole wektorowe w przestrzeni $\mathbb{R}^3$

Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.

Definicja

Niech $(X, \mu)$ będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta $(H_x)_{x\in X}$. Elementy produktu $\prod_{x\in X}H_x$ nazywamy polami wektorowymi.

Rodziną fundamentalną pól $\mu$-mierzalnych nazywamy rodzinę $\Gamma=(h^\alpha)_{\alpha \in \Alpha}$ spełniającą warunki:

1. funkcja $X\ni x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x\in\mathbb{C}$ jest $\mu$-mierzalna dla $\alpha, \beta\in \Alpha$.
2. $\mbox{lin}\{(h^\alpha(x))_{\alpha\in\Alpha}\}=H_x$ dla każdego $x\in X$.

Pole wektorowe

$h\in \prod_{x\in X}H_x$

nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje $x\mapsto (h^\alpha(x)|h^\beta(x))_x$ są $\mu$-mierzalne.

Pola $\mu$-mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu $\prod_{x\in X}H_x$

Przykłady

Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:

• pole grawitacyjne reprezentowane przez natężenie pola grawitacyjnego
• pole elektryczne reprezentowane przez natężenie pola elektrycznego
• indukcja magnetyczna
• pole prędkości i potencjał zespolony przepływu – określa prędkość przepływu płynu w każdym punkcie przestrzeni

Badaniem pól zajmuje się teoretyczny dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.

Zobacz też

• teoria pola
• pole skalarne, iloczyn skalarny
• iloczyn wektorowy
• pole tensorowe, iloczyn tensorowy

Bibliografia

1. Krzysztof Maurin: Analiza – Część I – Elementy. Warszawa: PWN, 1976.