Potencjał

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy potencjału skalarnego pola wektorowego w fizyce. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Potencjał - pole skalarne określające pewne pole wektorowe. W fizyce dla wielu pól różnica potencjałów w dwóch punktach określa ilość energii koniecznej do przemieszczenia ciała z jednego punktu do drugiego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli dla danego pola wektorowego  \vec A(\vec r) istnieje pole skalarne  \varphi (\vec r) , takie że w każdym punkcie jego gradient jest równy wektorowi danego pola ze zmienionym zwrotem:

 \vec A  (\vec r)= - \nabla \varphi (\vec r)

to pole  \vec A(\vec r) nazywamy polem potencjalnym, a  \varphi (\vec r) jego potencjałem. Definicja potencjału skalarnego nie określa go jednoznacznie, bo dodanie do  \varphi (\vec r) jakiejkolwiek wielkości stałej C nie wpływa na wektor  \vec A(\vec r) . Gdy trzeba pozbyć się tej dowolności, wprowadza się dodatkowy warunek określający wartość stałej C[1].

W konkretnych przypadkach pól fizycznych spotyka się w literaturze inne definicje potencjału, ale wszystkie one są równoważne powyższej.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

  • W przypadku pola sił potencjalność tego pola jest równoważna zachowawczości tych sił.
  • Warunkiem koniecznym i wystarczającym do potencjalności pola jest jego bezwirowość, czyli zerowa rotacja
\operatorname{rot} \vec{A} = \nabla \times \vec{A} = \vec{0}

Jeżeli dla każdego punktu określonego przez wektor \vec r pole sił dane jest funkcją {\vec F(\vec r)}, to zależność na potencjał punktu \vec r względem \vec r_0 przyjmie postać całki krzywoliniowej:

Q(\vec r)=\int\limits_{L(\vec r,\vec r_0)}\vec{F}(\vec r)\mathrm{d}\vec{l},

Potencjał pola centralnego[edytuj | edytuj kod]

Pole centralne jest zawsze potencjalne. Potencjał pola centralnego zależy jedynie od odległości od centrum pola. Jeżeli środek układu współrzędnych znajduje się w centrum pola, to:

 \vec A ( \vec r) = - \frac {d  \varphi (r)} {d r} \frac {\vec r } r

Przykłady potencjałów pól fizycznych[edytuj | edytuj kod]

W fizyce najpopularniejsze pola potencjalne to pole grawitacyjne oraz pole elektryczne. Jako punkt odniesienia do obliczania potencjału (miejsce, w którym potencjał wynosi zero) przyjmuje się często nieskończoność. W elektrotechnice i elektronice bywa to często potencjał ziemi, przewód ochronny, czy wydzielony fragment obwodu nazywany masą.

Potencjał pola elektrycznego[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Potencjał elektryczny.
  • Inna spotykana definicja potencjału pola elektrycznego to stosunek energii potencjalnej E_p ładunku próbnego q umieszczonego w tym punkcie, do wartości tegoż ładunku q[2][3]:
 \varphi_E = \frac {E_p}{q}
  • Niekiedy potencjał pola elektrycznego w punkcie "P" definiuje się również jako stosunek pracy W wykonanej przez siłę elektryczną przy przenoszeniu ładunku q z tego punktu do nieskończoności, do wartości tego ładunku (definicja ta z góry zakłada zero potencjału elektrycznego w nieskończoności):
\varphi_{P} = \frac{W_{P\rightarrow\infty}}{q}.
  • Zgodnie z ogólną definicją potencjału potencjałem pola elektrycznego  \vec E(\vec r) jest pole skalarne  \varphi_E (\vec r) , takie że:
 \vec E (\vec r) = - \nabla \varphi_E (\vec r)

Jednostką potencjału pola elektrycznego jest wolt (V). Bardzo często używa się też pojęcia napięcia elektrycznego będącego różnicą potencjałów w dwóch punktach.

Potencjał harmoniczny[edytuj | edytuj kod]

Pole siły harmonicznej określone jest przez:

 \vec{F}(\vec r)=-k \vec{r}

Pole jest centralne, potencjał (tożsamy z energią potencjalną) wynosi

\varphi_S = \frac {k r^2} 2

Często stosuje się ten potencjał w postaci jednowymiarowej, wtedy

 F(x)=-k x\,    oraz    \varphi_S = \frac {k x^2} 2

Potencjał pola prędkości[edytuj | edytuj kod]

Potencjał pola prędkości ośrodka ciągłego jest przykładem potencjału nie mającego bezpośredniego związku z energią. Wprowadza się go w mechanice ośrodków ciągłych by otrzymać opis ruchu niezależny od wyboru układu odniesienia[4].

W przepływie bezwirowym płynu nielepkiego pole prędkości ośrodka  \vec v(\vec r) można opisać przez jej potencjał  \varphi (\vec r):

 \vec v (\vec r) = - \nabla \varphi (\vec r)

Przepływ dla którego można określić potencjał pola prędkości nazywa się przepływem potencjalnym.

Prędkość w powyższym wzorze oznacza prędkość ośrodka w ustalonym punkcie przestrzeni (podejście Eulera), a nie prędkość ustalonego punktu ośrodka poruszającego się w przestrzeni (częściej stosowane podejście Lagrange'a).

Potencjał pola grawitacyjnego[edytuj | edytuj kod]

  • Zgodnie z ogólną definicją potencjału potencjałem pola grawitacyjnego  \vec g(\vec r) jest pole skalarne  \varphi_g (\vec r) , takie że:
 \vec g (\vec r) = - \nabla \varphi_g (\vec r)
 \vec g (\vec r) = - \frac { G M } {r^2} \frac {\vec r} r
gdzie G jest stałą grawitacyjną. Pole grawitacyjne jest wtedy centralne, a jego potencjał wynosi
 \varphi_g (r) = - \frac {G M} r

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Andrzej Januszajtis: Pola. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-01665-5.
  2. Jay Orear: Fizyka.. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1990. ISBN 83-204-0994-2.
  3. David Halliday: Podstawy fizyki.. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003. ISBN 83-01-14076-3.
  4. A.K Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki.. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1989, s. 26. ISBN 83-01-07012-9.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]