Retrakcja (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy topologii. Zobacz też: retrakcja (teoria kategorii).

Retrakcja – rodzaj przekształcenia ciągłego przestrzeni topologicznej.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Niech X\; będzie przestrzenią topologiczną oraz A\subseteq X. Funkcja ciągła

r\colon X\to A

nazywana jest retrakcją, jeżeli

r|_A = \operatorname{id}_A,

tzn. zachodzi równosć r(a) = a\; dla wszystkich elementów a\; przestrzeni A\;.

Retrakcje odpowiadają w sposób wzajemnie jednoznaczny ciągłym odwzorowaniom idempotentnym

i\colon X\to X,

tj. takim funkcjom i\;, że i \circ i = i. Idempotentem odpowiadającym retrakcji

r\colon X\to A

jest odwzorowanie i_A \circ r, gdzie i_A\colon A \hookrightarrow X jest zanurzeniem kanonicznym: i_A(a)=a\; dla każdego elementu a\; przestrzeni A\;.

Retraktem przestrzeni topologicznej X\; nazywany jest każdy taki zbiór B\subseteq X, dla którego istnieje retrakcja r\colon X\to B. Przestrzenie homeomorficzne z retraktem B\; nazywane są r-obrazami przestrzeni X\;. Pojęcie retraktu i r-obrazu wprowadzone zostało przez Karola Borsuka.

Retraktem absolutnym (AR) nazywa się taką przestrzeń topologiczną X\;, która włożona jako podzbiór domknięty w dowolną przestrzeń normalną Y\; jest retraktem Y\;.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dowód. Niech r\colon X \rightarrow A będzie retrakcją przestrzeni X\; na swoją podprzestrzeń A\;. Należy dowieść, że dla dowolnej funkcji f\colon A \rightarrow Y o wartościach w każdej takiej przestrzeni topologicznej Y, że złożenie f \circ r\colon X \rightarrow Y jest ciągłe, również samo f\; jest ciągłe. Wynika to natychmiast z równości:

f = f \circ r \circ i_A\,,

gdzie i_A\colon A \rightarrow X jest identycznościowym włożeniem A\; w przestrzeń X\;.

  • Podprzestrzeń M\; przestrzeni topologicznej X\; jest jej retraktem wtedy i tylko wtedy, gdy każde przekształcenie ciągłe określone na M\; może być przedłużone na X\;.

Dowód. Niech r\colon X \rightarrow A będzie retrakcją przestrzeni Hausdorffa X\; na swoją podprzestrzeń A\;. Przekątna:

\triangle_X := \{(x,y) \in X^2 : x=y\}

jest podzbiorem domkniętym w produkcie X^2\; (tw. Bourbakiego). Zatem

A = (r\, \triangle\, Id_X)^{-1}(\triangle_X)

jest domknięte w X, jako przeciwobraz zbioru domkniętego przy odwzorowaniu ciągłym r\, \triangle\, Id_X\colon X \rightarrow X^2, przy czym Id_X\colon X \rightarrow X oznacza przekształcenie identycznościowe.

  • Każda podprzestrzeń 1-punktowa jest retraktem. Każda przestrzeń topologiczna, która nie ma własności T1, ma podprzestrzeń, która jest retraktem, ale która nie jest domknięta w całej przestrzeni. Tak więc niedomknięte retrakty istnieją już w pewnych przestrzeniach 2-punktowych.
  • Niech G\; będzie niepustym podzbiorem otwartym w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Jeżeli Y\; jest taką podprzestrzenią zwartą w przestrzeni\mathbb{R}^n, że G\subseteq Y, to zbiór X := Y \setminus G nie jest retraktem przestrzeni Y. Twierdzenie to zostało udowodnione przez Karola Borsuka.

Dowód.  Niech  p\in G\,.  Niech  B\,  będzie kulą domkniętą, o środku w punkcie  p\,,   zawierającą  Y\,   w swoim wnętrzu. Gdyby twierdzenie nie zachodziło, to istniałaby retrakcja przestrzeni  \,Y  na  X\,. Jest ona zgodna z identycznością na zbiorze domkniętym  B\backslash G\,,  więc razem tworzą retrakcję  Y \cup (B\backslash G) = B  na  B\backslash G\,.  Oznaczmy tę retrakcję przez  r.  Wtedy, oznaczając przez  s  promień kuli, oraz przez  S   sferę brzegową kuli  B,  zdefiniujmy  \rho : B\backslash G \rightarrow S:

\rho(x) := p + s \cdot \frac{x-p}{|x-p|}

Zatem  \rho \circ r : B \rightarrow S  byłoby retrakcją kuli domkniętej na jej sferę brzegową, co jest niemożliwe. Koniec dowodu.

  • Twierdzenie (K.Borsuk)  Niech  X\,  będzie podprzestrzenią zwartą w R\,^n;\ n – liczba naturalna.   Niech  U\, będzie otoczeniem otwartym  X\,  w  R\,^n,  przy czym  X\,  jest retraktem  U\,.  Wtedy  R\,^n\backslash X  ma tylko skończoną liczbę składowych spójności.

Dowód.  Niech  B\,  będzie zwartym podzbiorem w   R\,^n\,,  zawierającym   X\,  w swoim wnętrzu  (B\,  może być kulą domkniętą o dostatecznie wielkim promieniu). Niech  W = U \cap Int(B).  Zatem   X\,  jest retraktem zbioru otwartego   W\,.

Niech  S\,  będzie jedną ze składowych spójności zbioru  R\,^n\backslash X. Wtedy   S\,  jest zbiorem otwartym (zawiera kulę otwartą wokół każdego swojego punktu) oraz  X\cup S\,  jest zbiorem domkniętym, jako dopełnienie unii wszystkich pozostałych składowych spójności zbioru  R\,^n\backslash X.  Gdyby  Y := S\subseteq W,   to   X\cup S\,  byłoby zwarte, i miałoby  X\,  za swój retrakt, w sprzeczności z wcześniejszym twierdzeniem Borsuka, powyżej. Zatem rodzina:

\{S\,\backslash\,W: S\ -\ sk\tilde{l}adowa\ w\ R\,^n\backslash X\}

jest pokryciem otwartym przestrzeni zwartej  B\backslash W\,  niepustymi zbiorami parami rozłącznymi  S\backslash W\,. Możemy z niego wybrać podpokrycie skończone. Ale jedynym podpokryciem pokrycia, złożonego z niepustych zbiorów parami rozłącznych, jest całe pokrycie. Zatem jest ono skończone – innymi słowy, zachodzi teza. Koniec dowodu.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • I=[0;1] jest retraktem zbioru liczb rzeczywistych \mathbb{R} z topologią naturalną. Retrakcją jest na przykład:  r:\mathbb{R}\to I, określona:
r(x)=\begin{cases} 0 & x<0 \\ x & x\in I \\ 1 & x>1\end{cases}.
  • Sfera jednowymiarowa S^1 (jednostkowy okrąg) nie jest retraktem przestrzeni \mathbb{R}^2 (płaszczyzny). Jest natomiast retraktem przestrzeni \mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} (płaszczyzny bez jednego punktu). Retrakcją jest na przykład r:\mathbb{R}^2\setminus \{(0,0)\} \to S^1, określona:  r(x)=\frac{x}{|x|}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. P McDougle: A theorem on quasi-compact mappings. Proceedings of the American Mathematical Society 9, 1958, s. 474-477.
  2. P McDougle: Mappings and space relations. Proceedings of the American Mathematical Society, 1959, s. 320-323.

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  1. Karol Borsuk: Theory of retracts. Warszawa: PWN, 1966.
  2. Ryszard Engelking: Topologia Ogólna. Warszawa: PWN, 1976.