Przestrzeń de Sittera

Przestrzeń de Sittera – rozmaitość lorentzowska względem n-sfery (która jest kanoniczną metryką riemannowską); jest maksymalnie symetryczna, posiada stałą pozytywną krzywiznę. Jest przestrzenią jednospójną dla n większego lub równego 3. N-wymiarowa przestrzeń de Sittera oznaczana jest symbolem $dS_{n}.$

W języku ogólnej teorii względności, przestrzeń de Sittera jest maksymalnie symetrycznym rozwiązaniem równań pola grawitacyjnego w próżni z dodatnią (odpychającą) stałą kosmologiczną $\Lambda$ (korespondującą do pozytywnej gęstości energii próżni oraz negatywnego ciśnienia). Gdy $n=4$ (3 wymiary przestrzenne plus czas), to jest ona kosmologicznym modelem dla fizycznego wszechświata de Sittera.

Definicja formalna

Przestrzeń de Sittera może być zdefiniowana jako podrozmaitość przestrzeni Minkowskiego. Weźmy przestrzeń Minkowskiego $\mathbf {R} ^{1,n}$ ze zwykłą metryką:

$ds^{2}=-dx_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}dx_{i}^{2}.$

Przestrzeń de Sittera jest podrozmaitością opisaną przez hiperboloidę jednopowłokową

$-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}=\alpha ^{2},$

gdzie $\alpha$ jest dodatnią stałą z wymiarem długości. Metryka na przestrzeni de Sittera jest metryką indukowaną z metryki Minkowskiego. Metryka ta jest niezdegenerowana.

Topologicznie przestrzeń de Sittera jest $\mathbf {R} \times S^{n-1}$ (więc dla $n\geqslant 3$ jest przestrzenią jednospójną).

Bibliografia

• Wolf, Joseph A., Spaces of constant curvature, 1967.