Rozmaitość riemannowska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Ogólna teoria względności
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Rozmaitość riemannowska bądź przestrzeń Riemanna - nazwana od nazwiska Bernharda Riemanna rzeczywista rozmaitość różniczkowa (M, g), dla której zdefiniowany jest tensor metryczny g, oraz istnieje funkcja d(x,y) określająca najkrótszą możliwą odległość jako rzeczywistą nieujemną wartość, będąca kresem dolnym zbioru odległości po wszystkich krzywych przechodzących jednocześnie przez dwa zadane punkty x i y.

Wprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

W 1828 roku Carl Friedrich Gauss udowodnił swoje twierdzenie wyborne, wprowadzając ważne właściwości powierzchni. Nieformalnie teoria ta mówi, że krzywizna powierzchni może być całkowicie określona przez pomiar odległości i kątów na tej powierzchni. Oznacza to, że krzywizna nie zależy od tego jak powierzchnia zostanie zanurzona w trójwymiarowej przestrzeni. Bernhard Riemann rozszerzył teorię Gaussa do wielowymiarowych przestrzeni nazywanych rozmaitościami, w sposób, który także pozwalał na zmierzenie odległości i kątów oraz na zdefiniowanie pojęcia krzywizny. Zrobił to w sposób wewnętrzny dla rozmaitości, bez umieszczania jej w przestrzeni posiadającej jeszcze więcej wymiarów. Albert Einstein użył teorii rozmaitości Riemanna do rozwinięcia Ogólnej Teorii Względności.

Podstawowe właściwości[edytuj | edytuj kod]

Wiązka styczna rozmaitości różniczkowalnej M przypisuje każdemu stałemu punktowi M przestrzeń wektorową nazywaną przestrzenią styczną. Każda przestrzeń styczna może być wyposażona w przestrzeń unitarną. Jeżeli zbiór takich przestrzeni unitarnych na stycznej wiązce rozmaitości podlega regularnym zmianom na rozmaitości, to pomysł zdefiniowania ich tylko punktowo na każdej stycznej przestrzeni może być rozszerzony analogicznie na skończone obszary rozmaitości. Przykład: krzywa regularna α(t):[0,1] → M posiada styczny wektor α'(t0) w stycznej przestrzeni TM(α(t0)) w każdym punkcie t0 ∈ (0,1), i długość każdego takiego wektora wynosi ||α'(t0)||, gdzie ||·|| oznacza normę wprowadzoną przez przestrzeń unitarną na TM(α(t0)). Całka z tej długości da w wyniku długość krzywej α:

L(\alpha) = \int_0^1{\|\alpha'(t)\|\, \mathrm{d}t}.

Regularność α(t) dla t z przedziału [0,1] gwarantuje, że całka L(α) istnieje oraz długość krzywej jest zdefiniowana.

W wielu przypadkach, w odniesieniu do przejścia od liniowo-algebraicznej formy do różniczkowo-geometrycznej wymaganie regularności jest bardzo ważnym warunkiem.

Każda regularna podrozmaitość na Rn posiada wewnętrzną metrykę g: będącą przestrzenią unitarną na każdej stycznej przestrzeni jest ona ograniczeniem przestrzeni unitarnej na Rn. Podążając za teorią osadzenia Nasha każda rozmaitość riemannowska może zostać przedstawiona w ten sposób. W szczególności można zdefiniować rozmaitość riemannowską jako miarę przestrzeni, która jest izometryczna do regularnej podrozmaitości Rn, z wewnętrzną metryką, gdzie izometria oznacza tutaj zachowanie długości krzywych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • A. Goetz: Geometria różniczkowa. Warszawa: PWN, 1965.
  • M. do Carmo: Differential Geometry of Curves and Sufraces. Prentice Hall, 1986.
  • M. do Carmo: Riemannian geometry. Boston: Basel, 1992. ISBN 9780817634902.