Różniczka zupełna

Różniczką zupełną funkcji $P(q_1,q_2,...,q_n)$ nazywamy takie wyrażenie Pfaffa, że:

$dP = \sum_{i=1}^{n} {\frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i} dq_i }$

gdzie:

$\frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i}$ – pochodna cząstkowa funkcji P po zmiennej q_i

Pochodne mieszane

Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci:

$dP = \sum_{i=1}^{n} { f_i(q_1,q_2,...,q_n) dq_i }$

to jest ono różniczką zupełną, jeżeli dla każdego i i j zachodzi:

$\frac{\partial f_i(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_j} = \frac{\partial f_j(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i}$

Ponieważ z definicji wiemy, że:

$f_i(q_1,q_2,...,q_n) = \frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i}$

to dla różniczki zupełnej funkcji $P(q_1,q_2,...,q_n)$ zachodzi:

$\frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_j \partial q_i} = \frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i \partial q_j}$

Bibliografia

• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.