Test Kruskala-Wallisa

Test Kruskala-Wallisa – rangowy test statystyczny porównujący rozkłady zmiennej w $k>2$ populacjach. Test nie zakłada normalności rozkładów. Niekiedy uważany jest za nieparametryczną alternatywę dla jednoczynnikowej analizy wariancji pomiędzy grupami.

Hipotezą zerową $H_0$ jest równość dystrybuant rozkładów w porównywanych populacjach.

Danymi wejściowymi jest $n\;$-elementowa próba statystyczna podzielona na $k\;$ rozłącznych grup o licznościach $n_1, n_2, \dots n_k$. Zakłada się, że każda grupa jest losowana z innej populacji.

Wykonywane jest rangowanie całej próby (połączone wszystkie grupy). Niech $R_{ij}$ oznacza rangę w całej próbie $j$-tego elementu z $i$-tej grupy.

Statystyka testowa Kruskala-Wallisa:

$T=\frac{12}{n(n+1)}\sum\limits_{i=1}^k n_i\left( \overline{R}_i-\frac{n+1}{2}\right) ^2$

gdzie:

$\overline{R}_i=\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}R_{ij}$

Statystyka ta jest miarą odstępstwa średnich próbkowych rang od wartości średniej wszystkich rang, równej (n+1)/2.

Dokładne obliczenie rozkładu tej statystyki wymagałoby sprawdzenia wszystkich układów rang. W praktyce, do obliczania p-wartości korzysta się z twierdzenia, mówiącego, że przy (jednocześnie):

• spełnionej hipotezie H₀
• ciągłym rozkładzie cechy w porównywanych populacjach
• minimalnych licznościach grup $n_1,n_2,n_3>5\;$ dla $k=3\;$ lub $n_1,n_2,\dots,n_k>4$ dla $k>3\;$

zachodzi:

$P\{T\leqslant t\}\rightarrow P\{\chi_{k-1}^2\leqslant t\}$ dla $t\rightarrow \infty$

gdzie $\chi_{k-1}^2$ to zmienna o rozkładzie chi-kwadrat z $k-1$ stopniami swobody.

Zobacz też

• test Wilcoxona dla par obserwacji

Bibliografia

• William H. Kruskal, W. Allen Wallis: Use of ranks in one-criterion variance analysis. Journal of the American Statistical Association 47 (260), grudzień 1952, s. 583–621. [1]
• Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001, s. 476-478. ISBN 83-204-2684-7.