Twierdzenie Bretschneidera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Czworokąt ABCD

Twierdzenie Bretschneidera - twierdzenie geometryczne pozwalające obliczyć pole powierzchni dowolnego czworokąta znając jedynie długości jego boków oraz miary jego kątów. Zostało ono udowodnione niezależnie w 1942 roku przez Carla Bretschneidera[1][2] oraz przez F.Strehlkego[3][2].

Wypowiedź twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie dowolny czworokąt ABCD o bokach długości a, b, c i d, oraz kątach (odpowiednio) α, β, γ i δ. Oznaczmy połowę jego obwodu przez
s=\frac{a+b+c+d}{2}.
Wtedy pole tego czworokąta wyraża się przez[4]
 S=\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}{2}}.


Dowód twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Przypadek, gdy czworokąt ABCD nie jest wypukły.

Na początek zauważmy, że w twierdzeniu nie jest istotne, którą parę przeciwległych kątów - α i γ, czy β i δ - wybierzemy. Zachodzi bowiem


\begin{align}
\cos^2 \frac{\beta+\delta}{2}&=\cos^2 \frac{2\pi-(\alpha+\gamma)}{2}=\\
&=\cos^2\left(\pi- \frac{\alpha+\gamma}{2}\right)=\\
&=\left(-\cos\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)^2=\\
&=\cos^2 \frac{\alpha+\gamma}{2}.
\end{align}

Oznaczmy pole czworokąta symbolem S. Wtedy

 \begin{align} S &= S_{\triangle ADB} + S_{\triangle BDC} \\                                        &= \frac{1}{2}ad\sin {\alpha} + \frac{1}{2}bc\sin {\gamma}.            \end{align}
(1)

Zauważmy, że wzór ten działa zarówno, gdy czworokąt ABCD jest wypukły, jak i gdy jest wklęsły: przypuśćmy, że kąt γ ma miarę większą od kąta półpełnego. Wtedy wzór (1) przyjmuje postać

 S = S_{\triangle ADB} - S_{\triangle BDC}.

Ale pole trójkąta BDC to

S_{\triangle BDC} =\frac{1}{2}bc\sin {(2\pi-\gamma)} =\frac{1}{2}bc\sin {(-\gamma)}=-\frac{1}{2}bc\sin{\gamma},

co ostatecznie daje ponownie wzór (1).

Przemnażając wzór (1) przez 2 i podnosząc obustronnie do kwadratu otrzymujemy

 4S^2 = (ad)^2\sin^2 {\alpha} + (bc)^2\sin^2 {\gamma} + 2abcd\sin {\alpha}\sin {\gamma}.
(2)

Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkątów ABD i BCD otrzymujemy


\begin{align}
|BD|^2 &=b^2 + c^2 -2bc\cos {\gamma}\\
|BD|^2 &=a^2 + d^2 -2ad\cos {\alpha}.
\end{align}

Łącząc powyższe równości otrzymujemy

 a^2 + d^2 -b^2 - c^2=2ad\cos {\alpha}-2bc\cos {\gamma}.

Podnoszą równość do kwadratu i dzieląc przez 4 otrzymujemy:

\frac{1}{4} (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2 = (ad)^2\cos^2 {\alpha} +(bc)^2\cos^2 {\gamma} -2 abcd\cos {\alpha}\cos {\gamma}.
(3)

Dodając stronami równania (2) i (3) oraz korzystając z tożsamości trygonometrycznych (jedynki trygonometrycznej, cosinusa sumy kątów oraz cosinusa podwojonego kąta) otrzymujemy kolejno:

\begin{align}4S^2+\frac{1}{4} (a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2&=(ad)^2\cos^2 {\alpha} +(bc)^2\cos^2  -2 abcd\cos {\alpha}\cos {\gamma}+(ad)^2\sin^2 {\alpha} +(bc)^2\sin^2  +2 abcd\sin{\alpha}\sin {\gamma}=\\
&=(ad)^2+(bc)^2-2abcd(\cos {\alpha}\cos {\gamma}-\sin{\alpha}\sin {\gamma})=\\
&=(ad)^2+(bc)^2-2abcd\cos(\alpha+\gamma)=\\
&=(ad)^2+(bc)^2-2abcd\cos\left(2\cdot\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)=\\
&=(ad)^2+(bc)^2-2abcd\left(2\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)-1 \right)=\\
&=(ad+bc)^2-4abcd\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right).
\end{align}

Przemnażając obie strony przez 4 i przenosząc jeden ze składników sumy na drugą stronę równość przyjmuje postać

16S^2= 4(ad+bc)^2-(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2-16abcd\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right).

Zapisując wyrażenie

4(ad+bc)^2-(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2

jako

(2ad+2bc)^2-(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2

oraz korzystając z wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy

\begin{align}
(2ad+2bc)^2-(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2&=(2ad+2bc+a^2+d^2-b^2-c^2)(2ad+2bc -a^2-d^2+b^2+c^2)=\\
&=((a+d)^2-(b-c)^2)((b+c)^2-(a-d)^2)=\\
&=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d).
\end{align}

Wprowadzając połowę obwodu s

s=\frac{a+b+c+d}{2}

otrzymujemy równość

16S^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}{2}

z której, po podzieleniu przez 16 i obustronnym spierwiastkowaniu otrzymujemy wzór Bretschneidera.

Podobne twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Bretschneidera to uogólnienie wzoru Brahmagupty, będącego z kolei uogólnieniem wzoru Herona. Jeśli czworokąt dany jest wpisany w koło, to przeciwległe kąty sumują się do kąta półpełnego i wtedy

 S=\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \frac{\pi}{2}}=\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.

Przypisy

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Ernest William Hobson: A treatise on plane geometry. Cambridge University Press, 1918.
  • F. Strehlke. Zwei neue Sätze vom ebenen und shparischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes.. „Archiv der Math.”, s. 33-326, 1842.