Twierdzenie Bretschneidera

Czworokąt

Twierdzenie Bretschneidera - geometryczne twierdzenie pozwalające obliczyć pole powierzchni dowolnego czworokąta:

W dowolnym czworokącie o bokach p, q, r, s, przekątnych m, n, połowie obwodu $T=\frac{p+q+r+s}{2}$ oraz sumie kątów przy przeciwległych wierzchołkach A i C ${(\alpha+\beta)}$ zachodzą następujące wynikające z siebie równości:

$m^2\cdot n^2=p^2\cdot r^2+q^2\cdot s^2-2pqrs\cdot\cos{(\alpha+\beta)}$ oraz $\text{Pole} = \sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s) - pqrs \cos^2 \frac{\alpha+\beta}{2}}$.

Dowód twierdzenia

Oznaczmy pole czworokąta symbolem S. Wtedy

$\begin{align} S &= \text{Pole } \triangle ADB + \text{Pole } \triangle BDC \\ &= \tfrac{1}{2}ps\sin {\alpha} + \tfrac{1}{2}qr\sin {\beta} \end{align}$

stąd

$4S^2 = (ps)^2\sin^2 {\alpha} + (qr)^2\sin^2 {\beta} + 2pqrs\sin {\alpha}\sin {\beta}. \,$

Z twierdzenia cosinusów mamy, że

$p^2 + s^2 -2ps\cos {\alpha} = q^2 + r^2 -2qr\cos {\beta}, \,$

ponieważ obie strony równania mają pole równe polu kwadratu o boku równemu przekątnej BD. To może być zapisane jako

$\tfrac14 (q^2 + r^2 - p^2 - s^2)^2 = (ps)^2\cos^2 {\alpha} +(qr)^2\cos^2 {\beta} -2 pqrs\cos {\alpha}\cos {\beta}. \,$

Wprowadzając połowę obwodu T

$T=\frac{p+q+r+s}{2}$

otrzymujemy

$16S^2 = 16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s) - 16pqrs \cos^2 \frac{A+C}2$

z którego, po podzieleniu przez 16 i spierwiastkowaniu otrzymujemy wzór Bretschneidera.

Podobne twierdzenia

Twierdzenie Bretschneidera to uogólnienie wzoru Brahmagupta, który z kolei jest uogólnieniem wzoru Herona w obszarze trójkąta.

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W., "Bretschneider's formula"z MathWorld.