Wzór Herona

Trójkąt o bokach a, b, i c

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości $a,\,b,\,c$ jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, w którego Metryce jest podany.

Niech $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$ oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi:

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}$

Dowód

W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta:

$S=\frac{1}{2}\ bc\sin{\alpha}$

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta $\alpha$.

$\cos^2{\alpha}=\left(\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\right)^2=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych otrzymujemy:

$\sin^2{\alpha}=1-\cos^2{\alpha}=1-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2=$
$=\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)=$
$=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}= \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}=$
$=\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}\cdot\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}$

$p\,$ oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:

$b+c+a=2p\,$
$a+b-c=2p-2c=2(p-c)\,$
$a-b+c=2p-2b=2(p-b)\,$
$b+c-a=2p-2a=2(p-a)\,$

$\sin^2{\alpha}=\frac{2p\cdot 2(p-a)}{2bc}\cdot\frac{2(p-c)\cdot 2(p-b)}{2bc}= \frac{4}{b^2 c^2}\ p(p-a)(p-b)(p-c)$
$\sin{\alpha}=\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.

$S=\frac{1}{2}\ bc\sin{\alpha}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Postać wyznacznikowa

$S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4} = \frac{1}{4} \sqrt{-\begin{vmatrix} 0&1&1&1\\1&0&a^2&b^2\\1&a^2&0&c^2\\1&b^2&c^2&0 \end{vmatrix}}$

Wzór Brahmagupty

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości $a,\,b,\,c,\,d$ wpisanego w okrąg:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$,

gdzie

$p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)$

oznacza połowę obwodu czworokąta.

Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd( cos \theta )^2}$,

gdzie $\theta$ to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg suma tych kątów jest równa i wynosi 180 stopni.

Linki zewnętrzne

• Wzór Herona (ang.) w encyklopedii MathWorld