Wzór Herona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Trójkąt o bokach a, b, i c

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości a,\,b,\,c jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, w którego Metryce jest podany.

Niech p=\frac{1}{2}(a+b+c) oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi:

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}

Wzór Herona może zostać wykorzystany do obliczeń, nawet jeżeli odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. W sytuacji, gdy wszystkie trzy odcinki i wszystkie trzy łączące je punkty leżą na jednej prostej, zachodzi równość a+b=c, więc wyrażenie p-c jest równe 0, co powoduje, że S=0.

Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny, tzn. a+b<c, to wartość p-c<0, co sprawia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, a więc S \not\in \mathbb{R}.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta:

S=\frac{1}{2}\ bc\sin{\alpha}

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta \alpha.

\cos^2{\alpha}=\left(\frac{a^2-b^2-c^2}{-2bc}\right)^2=\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych otrzymujemy:

\sin^2{\alpha}=1-\cos^2{\alpha}=1-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)^2=
=\left(1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)\left(1-\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)=
=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2bc-b^2-c^2+a^2}{2bc}= \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{a^2-(b-c)^2}{2bc}=
=\frac{(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}\cdot\frac{(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}

p\, oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:

b+c+a=2p\,
a+b-c=2p-2c=2(p-c)\,
a-b+c=2p-2b=2(p-b)\,
b+c-a=2p-2a=2(p-a)\,

\sin^2{\alpha}=\frac{2p\cdot 2(p-a)}{2bc}\cdot\frac{2(p-c)\cdot 2(p-b)}{2bc}=
\frac{4}{b^2 c^2}\ p(p-a)(p-b)(p-c)
\sin{\alpha}=\frac{2}{bc}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.

S=\frac{1}{2}\ bc\sin{\alpha}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Postać wyznacznikowa[edytuj | edytuj kod]

S=\frac{\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4} = \frac{1}{4}
\sqrt{-\begin{vmatrix}
0&1&1&1\\1&0&a^2&b^2\\1&a^2&0&c^2\\1&b^2&c^2&0
\end{vmatrix}}

Wzór Brahmagupty[edytuj | edytuj kod]

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości a,\,b,\,c,\,d wpisanego w okrąg:

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},

gdzie

p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)

oznacza połowę obwodu czworokąta.

Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) - abcd( cos \theta )^2},

gdzie  \theta to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg suma tych kątów jest równa i wynosi 180 stopni.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]