Twierdzenie Goodsteina

Twierdzenie Goodsteina – twierdzenie teorii liczb sformułowane przez Goodsteina w 1944 roku dotyczące pewnej własności ciągów liczb naturalnych. Mimo że sformułowanie twierdzenia jest czysto arytmetyczne i względnie nieskomplikowane, twierdzenie to jest niezależne od aksjomatyki Peano, co udowodnili w 1982 roku Jeff Paris i Laurie Kirby.

Popularne sformułowanie

• Wybierzmy liczbę naturalną m(0), na przykład 1077:

$m(0) = 1077\;$

• zapiszmy tę liczbę w postaci potęg dwójki:

$m(0) = 1077 = 2^{10} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{2} + 1\;$

• Dokonajmy takiego przedstawienia wszystkich liczb występujących w powyższym zapisie, aby każda z nich była wyrażona wyłącznie w postaci potęg liczby 2:

$m(0) = 2^{10} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{2} + 1 = 2^{2^{2+1}+2} + 2^{2^2+1} + 2^{2^2} + 2^2 +1$

• Zamieńmy w powyższym wyrażeniu wszystkie liczby 2 na liczbę 3:

$m(0)^{\prime}= 3^{3^{3+1}+3} + 3^{3^3+1} + 3^{3^3} + 3^3 +1$

• przyjmijmy że $m(1) = m(0)^{\prime} - 1$ czyli:

$m(1) = m(0)^{\prime}-1 = 3^{3^{3+1}+3} + 3^{3^3+1} + 3^{3^3} + 3^3$

• w wyrażeniu m(1) dokonajmy zamiany liczby 3 na 4 i odejmijmy 1; dostajemy w ten sposób m(2)
• kontynuujemy postępowanie, m(3) otrzymamy zamieniając 4 na 5 i odejmując 1.
• otrzymując ciąg liczbowy m(i) gdzie i=1,2... jest liczbą naturalną.

Twierdzenie Goodsteina: tak otrzymany ciąg zmierza do zera.

Jednak jak łatwo się przekonać pierwsze N wyrazów ciągu, gdzie N jest pewną bardzo dużą liczbą zależną od m(0), rośnie bardzo szybko. Pośrednie wyrazy dla liczby 1077 osiągają wartości rzędu $10^{10000}$ i więcej, aby w końcu dać w wyniku 0. Jak się okazuje, nie można tego faktu dowieść w ramach systemu formalnego arytmetyki Peano, jest to zatem nietrywialny przykład twierdzenia ciekawego matematycznie i zarazem niedowiedlnego na gruncie teorii liczb naturalnych.