Twierdzenie Hilberta o bazie
Twierdzenie Hilberta o bazie – twierdzenie mówiące, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W języku geometrii algebraicznej można to wypowiedzieć następująco: każdy zbiór algebraiczny nad ciałem może być opisany jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów[1].
Twierdzenie to zostało udowodnione przez Davida Hilberta w przypadku szczególnym pierścienia wielomianów nad ciałem przy okazji dowodu twierdzenia o skończonej generowalności pierścienia niezmienników. Dowód Hilberta był niekonstruktywny i wykorzystywał indukcję matematyczną; nie wskazywał algorytmu wyodrębniania skończonej bazy wielomianów dla danego ideału; pokazywał jedynie, że baza taka istnieje. Konstruktywna metoda znajdowania skończonej bazy wielomianów oparta jest na bazie Gröbnera.
Inne sformułowania twierdzenia Hilberta o bazie[edytuj | edytuj kod]
- Niech będzie pierścieniem wielomianów zmiennych o współczynnikach z pierścienia Jeśli jest pierścieniem noetherowskim, to również jest pierścieniem noetherowskim[2][3].
- Jeśli każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia jest skończony, to również każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia jest skończony[2].
![{\displaystyle P[X_{1},\dots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a89c400cc4f216c433bd129f2124574c4190e5df)
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ van der Waerden: Algebra. Springer-Verlag, 1967.; wyd. ros., Moskwa 1976, s. 439–444.
- ↑ a b Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.; wyd. ros., Moskwa 1972, s. 99–102.
- ↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 178, Twierdzenie 62.
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.
- van der Waerden B.L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967.