Twierdzenie Hilberta o bazie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

W algebrze przemiennej, twierdzenie Hilberta o bazie stwierdza, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W języku geometrii algebraicznej można to wypowiedzieć następująco: każdy zbiór algebraiczny nad ciałem może być opisany jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów[1].

Twierdzenie to zostało udowodnione przez Davida Hilberta w przypadku szczególnym pierścienia wielomianów nad ciałem przy okazji dowodu twierdzenia o skończonej generowalności pierścienia niezmienników. Dowód Hilberta był niekonstruktywny i wykorzystywał indukcję matematyczną; nie wskazywał algorytmu wyodrębniania skończonej bazy wielomianów dla danego ideału; pokazywał jedynie, że baza taka istnieje. Konstruktywna metoda znajdowania skończonej bazy wielomianów oparta jest na bazie Gröbnera.

Inne sformułowania twierdzenia Hilberta o bazie[edytuj | edytuj kod]

  1. Niech P[X_1, \dots, X_n] będzie pierścieniem wielomianów n zmiennych o współczynnikach z pierścienia P\;. Jeśli P jest pierścieniem noetherowskim, to P[X_1, \dots, X_n] również jest pierścieniem noetherowskim[2].
  2. Jeśli każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia P\; jest skończony, to również każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia P[X_1, \dots, X_n] jest skończony[3].

Przypisy

  1. van der Waerden: Algebra. Springer-Verlag, 1967.; wyd. ros., Moskwa 1976, s. 439-444
  2. Atiyah M. F., Macdonald I. G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.; wyd. ros., Moskwa 1972, s. 99-102
  3. Atiyah M. F., Macdonald I. G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.; wyd. ros., Moskwa 1972, s. 99-102

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Atiyah M. F., Macdonald I. G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.
  • van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967.