Twierdzenie Hilberta o bazie

W algebrze przemiennej, twierdzenie Hilberta o bazie stwierdza, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W języku geometrii algebraicznej można to wypowiedzieć następująco: każdy zbiór algebraiczny nad ciałem może być opisany jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów.

Twierdzenie to zostało udowodnione przez Davida Hilberta w przypadku szczególnym pierścienia wielomianów nad ciałem przy okazji dowodu twierdzenia o skończonej generowalności pierścienia niezmienników. Dowód Hilberta był niekonstruktywny i wykorzystywał indukcję matematyczną; nie wskazywał algorytmu wyodrębniania skończonej bazy wielomianów dla danego ideału; pokazywał jedynie, że baza taka istnieje. Konstruktywna metoda znajdowania skończonej bazy wielomianów oparta jest na bazie Gröbnera.

Inne sformułowania twierdzenia Hilberta o bazie

1. Niech $P[X_1, \dots, X_n]$ będzie pierścieniem wielomianów $n$ zmiennych o współczynnikach z pierścienia $P\;$. Jeśli $P$ jest pierścieniem noetherowskim, to $P[X_1, \dots, X_n]$ również jest pierścieniem noetherowskim.
2. Jeśli każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia $P\;$ jest skończony, to również każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia $P[X_1, \dots, X_n]$ jest skończony.

Bibliografia

• Atiyah M. F., Macdonald I. G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969. 
• van der Waerden B. L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967.