Twierdzenie o części standardowej

Twierdzenie o części standardowej – twierdzenie analizy niestandardowej mówiące o tym, że nieskończenie blisko liczby hiperrzeczywistej ograniczonej znajduje się dokładnie jedna liczba standardowa, tzn.:

$\forall _{a\in \mathbb {L} }\ \exists !_{r\in \mathbb {R} }\ a\thickapprox r^{*}$.

Liczbę $r$ wyznaczoną przez to twierdzenie oznaczać można jako ${\mbox{st}}(a)$.

Dowód twierdzenia

Ustalmy dowolnie liczbę $a\in \mathbb {L} \subset \mathbb {R} ^{*}.$ Zdefiniujmy zbiory $A:=\{x\in \mathbb {R} :a\succcurlyeq x^{*}\}$ oraz $B:=\{x\in \mathbb {R} :a\prec x^{*}\}.$ Z prawa trychotomii w uporządkowanym ciele liczb hiperrzeczywistych wynika, że $(A,B)$ jest przekrojem Dedekinda w $(\mathbb {R} ,<).$ Zauważmy, że przekrój ten wyznacza liczbę rzeczywistą $r$ taką, że $\forall _{\alpha \in A}\forall _{\beta \in B}\ \alpha \leqslant r\leqslant \beta .$ Ponieważ ciało liczb rzeczywistych spełnia aksjomat Archimedesa, to da się wyznaczyć taki ciąg $(c_{n})\subset \mathbb {R} ,$ dla którego $c_{2k-1}\in A$ i $c_{2k}\in B$ oraz $c_{2k}-c_{2k-1}<{\frac {1}{k}}.$ Zatem $a,r^{*}\in \bigcap _{k=1}^{\infty }[c_{2k-1};c_{2k}],$ co znaczy, że $r^{*}\thickapprox a.$ Liczba $r$ jest tu wyznaczona jednoznacznie, ponieważ nie istnieją dwie standardowe liczby rzeczywiste, które byłyby nieskończenie blisko siebie. $\square$