Relacja trychotomiczna

Relacja trychotomiczna to antysymetryczna, spójna i przeciwzwrotna relacja binarna.

Definicja

Niech $X$ będzie zbiorem. Relację ${\mathcal R}\subseteq X\times X$ nazywamy relacją trychotomiczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:

• antysymetryczna:

$\forall\;x,\,y\in X:\;(x\,{\mathcal R}\,y\wedge y\,{\mathcal R}\,x)\Rightarrow x=y\;,$

• spójna:

$\forall\;x,\,y\in X:\;x\,{\mathcal R}\,y\vee y\,{\mathcal R}\,x\vee x=y\;,$

• przeciwzwrotna:

$\forall\;x\in X:\;\lnot\;x\,{\mathcal R}\,x\;.$

Równoważnie, relacja ${\mathcal R}$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy:

$\forall\;x,\,y\in X:\;({x\,{\mathcal R}\,y}\;\wedge\;\lnot\;{y\,{\mathcal R}\,x}\;\wedge\;\lnot\;{x=y})\;\vee\;(\lnot\;{x\,{\mathcal R}\,y}\;\wedge\;{y\,{\mathcal R}\,x}\;\wedge\;\lnot\;{x=y})\;\vee\;(\lnot\;{x\,{\mathcal R}\,y}\;\wedge\;\lnot\;{y\,{\mathcal R}\,x}\;\wedge\;{x=y})\;.$

Relacja ${\mathcal R}$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x,\,y\in X$ zachodzi dokładnie jeden z warunków: ${x\,{\mathcal R}\,y}$ albo ${y\,{\mathcal R}\,x}$ albo ${x=y}\;.$

Przykłady

• Relację ostrego porządku definiuje się jako relację przechodnią, przeciwzwrotną i spójną (w myśl powyższej definicji spójności, która nie implikuje zwrotności). Przechodniość i przeciwzwrotność implikują antysymetryczność, stąd relację ostrego porządku można równoważnie zdefiniować jako relację przechodnią i trychotomiczną.

Zobacz też

• relacja (matematyka)
• relacja antysymetryczna
• relacja spójna
• relacja przeciwzwrotna
• częściowy porządek
• porządek liniowy