Relacja trychotomiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Relacja trychotomiczna to antysymetryczna, spójna i przeciwzwrotna relacja binarna.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie zbiorem. Relację {\mathcal R}\subseteq X\times X nazywamy relacją trychotomiczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:

\forall\;x,\,y\in X:\;(x\,{\mathcal R}\,y\wedge y\,{\mathcal R}\,x)\Rightarrow x=y\;,
\forall\;x,\,y\in X:\;x\,{\mathcal R}\,y\vee y\,{\mathcal R}\,x\vee x=y\;,
\forall\;x\in X:\;\lnot\;x\,{\mathcal R}\,x\;.

Równoważnie, relacja {\mathcal R} jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy:

\forall\;x,\,y\in X:\;({x\,{\mathcal R}\,y}\;\wedge\;\lnot\;{y\,{\mathcal R}\,x}\;\wedge\;\lnot\;{x=y})\;\vee\;(\lnot\;{x\,{\mathcal R}\,y}\;\wedge\;{y\,{\mathcal R}\,x}\;\wedge\;\lnot\;{x=y})\;\vee\;(\lnot\;{x\,{\mathcal R}\,y}\;\wedge\;\lnot\;{y\,{\mathcal R}\,x}\;\wedge\;{x=y})\;.

Relacja {\mathcal R} jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x,\,y\in X zachodzi dokładnie jeden z warunków: {x\,{\mathcal R}\,y} albo {y\,{\mathcal R}\,x} albo {x=y}\;.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 2002, strona 34.