Liczby rzeczywiste
Z Wikipedii
Zbiór liczb rzeczywistych – uzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.
Pitagorejczycy zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Podobnie liczba pi, którą można definiować jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych o tego rodzaju luki. Klasycznym jego modelem jest tzw. prosta rzeczywista, czy inaczej oś liczbowa. Liczby rzeczywiste tworzą ciało i z punktu widzenia algebry są one rozszerzeniem ciała liczb wymiernych.
Spis treści |
[edytuj] Definicje
Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany symbolem 
lub 
. Istnieją trzy klasyczne sposoby konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych:
- za pomocą przekrojów Dedekinda,
- za pomocą ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych,
- definicja aksjomatyczna.
[edytuj] Niektóre własności
[edytuj] Naturalna topologia
Naturalną metryką w zbiorze liczb rzeczywistych jest tzw. metryka euklidesowa, czyli wartość bezwzględna różnicy dwóch elementów. Prosta rzeczywista wyposażona w tę metrykę jest zupełną przestrzenią metryczną. Ponadto, jest ona także przestrzenią ośrodkową (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych).
Rodzinę zbiorów otwartych (topologię) na prostej można opisać warunkiem - zbiór 
jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy
,
to znaczy gdy wraz z każdym jego punktem zawiera pewien przedział otwarty.
Bazą tej topologii jest, na przykład, rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych, skąd prosta rzeczywista spełnia drugi aksjomat przeliczalności. Przestrzeń ta jest ponadto spójna i lokalnie zwarta.
Ważnymi kontrprzykładami w topologii ogólnej są tzw. prosta Sorgenfreya i prosta Michaela, to znaczy zbiór liczb rzeczywistych wyposażony w inne, niestandardowe topologie.
[edytuj] Teoria mnogości
- Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywana jest continuum i oznaczana symbolem
. Jest ona większa, na przykład, od mocy zbioru liczb wymiernych (zobacz też: rozumowanie przekątniowe) czy zbioru liczb algebraicznych - odpowiednio, zbiory liczb niewymiernych i przestępnych mają również moc continuum. - Naturalny porządek (relacja mniejszości) liczb rzeczywistych spełnia warunek przeliczalnych antyłańcuchów (ccc).
[edytuj] Reprezentacja w urządzeniach cyfrowych
Przybliżoną, komputerową reprezentacją liczby rzeczywistej jest liczba zmiennoprzecinkowa i typ zmiennoprzecinkowy.
[edytuj] Zobacz też
