Liczby rzeczywiste

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Oś liczbowa jako interpretacja geometryczna zbioru liczb rzeczywistych

Zbiór liczb rzeczywistychuzupełnienie zbioru liczb wymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych zawiera m.in. liczby naturalne, ujemne, całkowite, pierwiastki liczb dodatnich, wymierne, niewymierne, przestępne, itd. Z drugiej strony na liczby rzeczywiste można też patrzeć jak na szczególne przypadki liczb zespolonych.

Pitagorejczycy zauważyli, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1 nie daje się wyrazić przy pomocy ilorazu dwóch liczb całkowitych (zob. dowód niewymierności pierwiastka z 2). Podobnie liczba pi, którą można definiować jako stosunek długości dowolnego okręgu do jego średnicy, nie jest liczbą wymierną. Zbiór liczb rzeczywistych jest więc uzupełnieniem zbioru liczb wymiernych o tego rodzaju luki. Klasycznym jego modelem jest tzw. prosta rzeczywista, czy inaczej oś liczbowa. Liczby rzeczywiste tworzą ciało i z punktu widzenia algebry są one rozszerzeniem ciała liczb wymiernych.

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz więcej w artykule Aksjomaty i konstrukcje liczb, w sekcji Liczby rzeczywiste.

Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem \mathbb R lub \mathbf R. Istnieją dwa klasyczne sposoby konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych:

Istnieje również definicja aksjomatyczna.

Niektóre własności[edytuj | edytuj kod]

Naturalna topologia[edytuj | edytuj kod]

Naturalną metryką w zbiorze liczb rzeczywistych jest tzw. metryka euklidesowa, czyli wartość bezwzględna różnicy dwóch elementów. Prosta rzeczywista wyposażona w tę metrykę jest zupełną przestrzenią metryczną. Ponadto jest ona także przestrzenią ośrodkową (ośrodkiem jest np. zbiór liczb wymiernych).

Rodzinę zbiorów otwartych (topologię) na prostej można opisać warunkiem – zbiór A\subseteq \mathbb{R} jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy

 \forall_{x \in A}\ \exists_{\varepsilon > 0}\ (x - \varepsilon; x + \varepsilon) \subseteq A ,

to znaczy gdy wraz z każdym jego punktem zawiera pewien przedział otwarty.

Bazą tej topologii jest, na przykład, rodzina przedziałów otwartych o końcach wymiernych, skąd prosta rzeczywista spełnia drugi aksjomat przeliczalności. Przestrzeń ta jest ponadto spójna i lokalnie zwarta.

Ważnymi kontrprzykładami w topologii ogólnej są tzw. prosta Sorgenfreya i prosta Michaela, to znaczy zbiór liczb rzeczywistych wyposażony w inne, niestandardowe topologie.

Teoria mnogości[edytuj | edytuj kod]

Reprezentacja w urządzeniach cyfrowych[edytuj | edytuj kod]

Przybliżoną, komputerową reprezentacją liczby rzeczywistej jest liczba zmiennoprzecinkowa i typ zmiennoprzecinkowy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]