Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym - twierdzenie podające warunek wystarczający na to by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.

Szczególny przypadek tego twierdzenia zwany jest twierdzeniem Banacha-Schaudera, a jednym z wniosków z tego twierdzenia jest twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi oraz \Lambda\colon X\to Y będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli X jest F-przestrzenią oraz \Lambda(X) jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni Y, to \Lambda jest odwzorowaniem otwartym, \Lambda(X)=Y oraz Y jest F-przestrzenią.

Wnioski[edytuj | edytuj kod]

Niech X,Y będą F-przestrzeniami oraz \Lambda\colon X\to Y będzie operatorem liniowym i ciągłym.

  • Twierdzenie Banacha-Schaudera
Jeśli \Lambda(X)=Y, to \Lambda jest odwzorowaniem otwartym.
  • Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym
Jeżeli \Lambda(X)=Y oraz \Lambda jest odwzorowaniem różnowartościowym, to \Lambda^{-1} jest ciągłe.
  • Jeżeli X i Y są przestrzeniami Banacha oraz \Lambda jest bijekcją, to istnieją takie dodatnie stałe rzeczywiste a,b, że
a\|x\|\leqslant \|\Lambda x\|\leqslant b\|x\| dla każdego x\in X.
  • Warunek wystarczający na równoważność norm zupełnych
Jeżeli (X, \|\cdot\|_1), (X, \|\cdot\|_2) są przestrzeniami Banacha oraz dla każdego ciągu (x_n)_{n\in\mathbb{N}} punktów przestrzeni X spełniony jest warunek
\lim_{n\to\infty}\|x_n\|_1=0\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\|x_n\|_2=0,
to normy \|\cdot\|_1 i \|\cdot\|_2 są równoważne.
  • Jeżeli (X,\mathcal{T}_1), (X,\mathcal{T}_2) są F-przestrzeniami oraz \mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2, to \mathcal{T}_1= \mathcal{T}_2

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.