Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym - twierdzenie podające warunek wystarczający na to by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.

Szczególny przypadek tego twierdzenia zwany jest twierdzeniem Banacha-Schaudera, a jednym z wniosków z tego twierdzenia jest twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.

Twierdzenie

Niech $X,Y$ będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi oraz $\Lambda\colon X\to Y$ będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli $X$ jest F-przestrzenią oraz $\Lambda(X)$ jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni $Y$, to $\Lambda$ jest odwzorowaniem otwartym, $\Lambda(X)=Y$ oraz $Y$ jest F-przestrzenią.

Wnioski

Niech $X,Y$ będą F-przestrzeniami oraz $\Lambda\colon X\to Y$ będzie operatorem liniowym i ciągłym.

• Twierdzenie Banacha-Schaudera

Jeśli $\Lambda(X)=Y$, to $\Lambda$ jest odwzorowaniem otwartym.

• Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym

Jeżeli $\Lambda(X)=Y$ oraz $\Lambda$ jest odwzorowaniem różnowartościowym, to $\Lambda^{-1}$ jest ciągłe.

• Jeżeli $X$ i $Y$ są przestrzeniami Banacha oraz $\Lambda$ jest bijekcją, to istnieją takie dodatnie stałe rzeczywiste $a,b$, że

$a\|x\|\leqslant \|\Lambda x\|\leqslant b\|x\|$ dla każdego $x\in X$.

• Warunek wystarczający na równoważność norm zupełnych

Jeżeli $(X, \|\cdot\|_1), (X, \|\cdot\|_2)$ są przestrzeniami Banacha oraz dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ punktów przestrzeni $X$ spełniony jest warunek

$\lim_{n\to\infty}\|x_n\|_1=0\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\|x_n\|_2=0$,

to normy $\|\cdot\|_1$ i $\|\cdot\|_2$ są równoważne.

• Jeżeli $(X,\mathcal{T}_1), (X,\mathcal{T}_2)$ są F-przestrzeniami oraz $\mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2$, to $\mathcal{T}_1= \mathcal{T}_2$

Bibliografia

1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.