Przestrzeń liniowo-topologiczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Każdy punkt przestrzeni liniowo-topologicznej daje się przedstawić jako pewne przesunięcie zera. Przesunięcie jest homeomorfizmem, więc badanie własności punktów przestrzeni liniowo-topologicznych sprowadza się do badania otoczeń zera.

Przestrzeń liniowo-topologicznaprzestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalarciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeśli (X, +, \cdot) jest przestrzenią liniową nad ciałem K liczb rzeczywistych bądź zespolonych, a \tau jest topologią w zbiorze X, to przestrzeń (X,+,\cdot, \tau) nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy (X,\tau) jest T1-przestrzenią oraz dodawanie +\colon X\times X\to X i mnożenie przez skalar \cdot\colon K\times X\to X są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego punktu x_0\in X i każdego skalara \alpha\in K\setminus\{0\} odwzorowania: x\mapsto x+x_0,\; x\in X i x\mapsto \alpha x,\; x\in Xhomeomorfizmami przestrzeni X na przestrzeń X, więc zasadne jest badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób, przez homeomorfizmy, na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni X dają się oddzielać zbiorami otwartymi.

Zbiory ograniczone[edytuj | edytuj kod]

Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór A nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera U\subseteq X istnieje \alpha\in (0,\infty), że A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon\; u\in U\}.

Można wykazać, że jeśli X jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli X jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi byc to prawda nawet wtedy, gdy metryka \varrho na X jest niezmiennicza tzn. spełnia warunek \varrho(x,y)=\varrho(x+z, y+z) dla x,y,z\in X.

Charakteryzacja zbiorów ograniczonych[edytuj | edytuj kod]

Równoważnie, zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera U\subseteq X istnieje takie \alpha\in(0,\infty), że dla każdego \beta \in [\alpha, \infty) zbiór A zawiera się w zbiorze \beta U.

Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór A\subseteq X jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

\lim_{n\to\infty}\alpha_nx_n=0

dla każdego ciągu (x_n)_{n\in\mathbb{N}} elementów tego zbioru i każdego ciągu (\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}} elementów ciała K, zbieżnego do zera.

Zbiory zbalansowane[edytuj | edytuj kod]

Zbiór A\subseteq X nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego \alpha\in K takiego, że |\alpha|\leqslant 1 zbiór \alpha A\subseteq A.

Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każe wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.

Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych[edytuj | edytuj kod]

W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna (X,\tau) jest:

  • lokalnie wypukła, gdy istnieje baza otoczeń \mathcal{B} w X, której elementy są zbiorami wypukłymi;
  • lokalnie ograniczona, jeśli zero ma ograniczone otoczenie;
  • lokalnie zwarta, jeśli zero ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte;
  • F-przestrzenią[1], jeśli \tau jest zadana przez zupełną, niezmienniczą metrykę;
  • przestrzenią Frécheta[1] jeśli jest lokalnie wypukłą F-przestrzenią;
  • normowalna, jeśli w X istnieje taka norma, że metryka zadana przez tę normę jest zgodna z \tau.

Ponadto, mówi się przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, jeśli każdy domknięty i ograniczony jej podzbiór jest zwarty.

Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń[2]. Przestrzeń X jest natomiast normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. Przestrzeń X ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń X ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.

Na przykład przestrzeń X wszystkich funkcji rzeczywistych f\colon \mathbb R \to \mathbb R może być utożsamiany z przestrzenią \mathbb R^\mathbb R, wyposażoną w topologię Tichonowa. Topologię na X nazywa się topologią zbieżności punktowej (zob. zbieżność punktowa ciągu funkcji). Przestrzeń ta nie jest metryzowalna, a więc i nie normowalna.

Ciągi Cauchy'ego[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, s. 19-24.

Przypisy

  1. 1,0 1,1 Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta - inni, zdefiniowaną tu przestrzeń Frécheta, nazywają F-przestrzenią
  2. Zob. Pierwszy aksjomat przeliczalności