Przestrzeń liniowo-topologiczna

Każdy punkt przestrzeni liniowo-topologicznej daje się przedstawić jako pewne przesunięcie zera. Przesunięcie jest homeomorfizmem, więc badanie własności punktów przestrzeni liniowo-topologicznych sprowadza się do badania otoczeń zera.

Przestrzeń liniowo-topologiczna – przestrzeń liniowa, w której istnieje taka topologia (dla której dodatkowo zakłada się, że każdy punkt tej przestrzeni jest zbiorem domkniętym, innymi słowy przestrzeń spełnia pierwszy aksjomat oddzielania), że działania dodawania wektorów i mnożenia przez skalar są ciągłe. Można udowodnić, że każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet jest przestrzenią regularną. Grupa addytywna przestrzeni liniowo-topologicznej jest grupą topologiczną. Każda przestrzeń unormowana (a więc np. dowolna przestrzeń Banacha czy Hilberta) jest przestrzenią liniowo-topologiczną.

Przestrzenie liniowo-topologiczne są głównym obiektem badań analizy funkcjonalnej. Najczęściej rozważane są przestrzenie liniowo-topologiczne będące przestrzeniami funkcyjnymi.

Definicja

Jeśli $(X, +, \cdot)$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K$ liczb rzeczywistych bądź zespolonych, a $\tau$ jest topologią w zbiorze $X,$ to przestrzeń $(X,+,\cdot, \tau)$ nazywa się przestrzenią liniowo-topologiczną, gdy $(X,\tau)$ jest T₁-przestrzenią oraz dodawanie $+\colon X\times X\to X$ i mnożenie przez skalar $\cdot\colon K\times X\to X$ są ciągłe (w sensie odpowiednich topologii produktowych).

Własności

Dla każdego punktu $x_0\in X$ i każdego skalara $\alpha\in K\setminus\{0\}$ odwzorowania: $x\mapsto x+x_0,\; x\in X$ i $x\mapsto \alpha x,\; x\in X$ są homeomorfizmami przestrzeni $X$ na przestrzeń $X$, więc zasadne jest badanie pewnych własności przestrzeni liniowo-topologicznych tylko w odniesieniu do otoczeń zera, gdyż analogiczne wyniki przenoszą się w naturalny sposób, przez homeomorfizmy, na inne punkty. Domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni liniowo-topologicznej jest nadal jej podprzestrzenią. Dowodzi się także, że dowolne rozłączne domknięte i zwarte podzbiory przestrzeni $X$ dają się oddzielać zbiorami otwartymi.

Zbiory ograniczone

Nie każda przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, więc istnieje potrzeba wprowadzenia ogólniejszej definicji zbioru ograniczonego. Zbiór $A$ nazywa się ograniczonym, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje $\alpha\in (0,\infty)$, że $A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon\; u\in U\}$.

Można wykazać, że jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią unormowaną, to definicja ta jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego. Nie jest na ogół prawdą, że jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to powyższa definicja jest równoważna klasycznej definicji zbioru ograniczonego, nie musi byc to prawda nawet wtedy, gdy metryka $\varrho$ na $X$ jest niezmiennicza tzn. spełnia warunek $\varrho(x,y)=\varrho(x+z, y+z)$ dla $x,y,z\in X$.

Charakteryzacja zbiorów ograniczonych

Równoważnie, zbiór $A$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje takie $\alpha\in(0,\infty)$, że dla każdego $\beta \in [\alpha, \infty)$ zbiór $A$ zawiera się w zbiorze $\beta U$.

Ograniczony podzbiór przestrzeni liniowo-topologicznej można także scharakteryzować w sposób równoważny, nieco bliższy intuicji:
Zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim_{n\to\infty}\alpha_nx_n=0$

dla każdego ciągu $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów tego zbioru i każdego ciągu $(\alpha_n)_{n\in\mathbb{N}}$ elementów ciała $K$, zbieżnego do zera.

Zbiory zbalansowane

Zbiór $A\subseteq X$ nazywa się zbalansowanym, gdy dla każdego $\alpha\in K$ takiego, że $|\alpha|\leqslant 1$ zbiór $\alpha A\subseteq A$.

Domknięcie zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym. Wnętrze zbioru zbalansowanego jest zbiorem zbalansowanym, o ile zawiera ono zero. Dodatkowo, każde otoczenie zera zawiera zbalansowane otoczenie zera, a każe wypukłe otoczenie zera zawiera otoczenie będące jednocześnie zbiorem wypukłym i zbalansowanym.

Klasy przestrzeni liniowo-topologicznych

W literaturze matematycznej, często spotyka się następujące nazewnictwo związane z przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówi się, że przestrzeń liniowo-topologiczna $(X,\tau)$ jest:

• lokalnie wypukła, gdy istnieje baza otoczeń $\mathcal{B}$ w $X$, której elementy są zbiorami wypukłymi;
• lokalnie ograniczona, jeśli zero ma ograniczone otoczenie;
• lokalnie zwarta, jeśli zero ma otoczenie, którego domknięcie jest zwarte;
• F-przestrzenią, jeśli $\tau$ jest zadana przez zupełną, niezmienniczą metrykę;
• przestrzenią Frécheta jeśli jest lokalnie wypukłą F-przestrzenią;
• normowalna, jeśli w $X$ istnieje taka norma, że metryka zadana przez tę normę jest zgodna z $\tau$.

Ponadto, mówi się przestrzeń $X$ ma własność Heinego-Borela, jeśli każdy domknięty i ograniczony jej podzbiór jest zwarty.

Każda przestrzeń lokalnie ograniczona ma przeliczalną bazę otoczeń. Przestrzeń $X$ jest natomiast normowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie wypukła i lokalnie ograniczona. Przestrzeń $X$ ma skończony wymiar wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie zwarta. Jeśli lokalnie ograniczona przestrzeń $X$ ma własność Heinego-Borela, to ma skończony wymiar.

Przykład

Produkt dowolnej rodziny przestrzeni liniowo-topologicznych jest nadal przestrzenią liniowo-topologiczną.

Na przykład przestrzeń $X$ wszystkich funkcji rzeczywistych $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ może być utożsamiany z przestrzenią $\mathbb R^\mathbb R,$ wyposażoną w topologię Tichonowa. Topologię na $X$ nazywa się topologią zbieżności punktowej (zob. zbieżność punktowa ciągu funkcji). Przestrzeń ta nie jest metryzowalna, a więc i nie normowalna.

Bibliografia

• Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001, s. 19-24.