Twierdzenie o residuach

Twierdzenie o residuach - twierdzenie analizy zespolonej dostarczające metody obliczania wartości całek krzywoliniowych funkcji meromorficznych. Uogólnia ono twierdzenie Cauchy'ego (orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zero).

Twierdzenie

Ilustracja założeń twierdzenia

Niech $U$ będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ${\mathbb C}$. Przypuśćmy, że $a_1,\ldots,a_n\in U$ oraz

$f:U\setminus \{a_1,\ldots,a_n\}\longrightarrow {\mathbb C}$ jest holomorficzna.

Niech $\gamma$ będzie zamkniętą krzywą prostowalną zawartą w $U\setminus \{a_1,\ldots,a_n\}$. Wówczas

$\oint_\gamma f(z)\, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{I}(\gamma, a_k) \operatorname{Res}( f, a_k ).$

Jeśli $\gamma$ jest krzywą Jordana, to $\operatorname{I}(\gamma, a_k)=1$ więc

$\oint_\gamma f(z)\, dz =2\pi i \sum_{k=1}^n \operatorname{Res}( f, a_k ).$

Powyżej, $\operatorname{Res}( f, a_k)$ to residuum funkcji f w $a_k$ a $\operatorname{I}(\gamma, a_k)$ to indeks punktu $a_k$ względem krzywej $\gamma$.

Zastosowania

• Twierdzenie o residuach jest stosowane przy obliczaniu niektórych całek rzeczywistych.

Zobacz też

• residuum
• wzór całkowy Cauchy'ego

Bibliografia

• Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 185-188, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10.  Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.