Wielomiany trygonometryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Wielomiany trygonometryczne to klasa funkcji rzeczywisto-rzeczywistych bądź rzeczywisto-zespolonych, mająca szczególne znaczenie w analizie numerycznej oraz analizie fourierowskiej.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Rzeczywistym wielomianem trygonometrycznym stopnia n nazywamy każdą funkcję postaci:

t_n(x)=\sum_{j=0}^n(\alpha_j\cos jx+\beta_j\sin jx), gdzie n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, \alpha_j, \beta_j\in\mathbb{R}, j\in\{0,\ldots,n\}.

Analogicznie, zespolonym wielomianem trygonometrycznym stopnia n nazywamy każdą funkcję postaci:

T_n(x)=\sum_{j=0}^n(\alpha_j\cos jx+\mathrm{i}\beta_j\sin jx), gdzie n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, \alpha_j, \beta_j\in\mathbb{R}, j\in\{0,\ldots,n\}.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Dla zespolonego wielomianu trygonometrycznego, jeśli \bigwedge_{j\in\{0,\ldots,n\}}\big[\alpha_j=\beta_j\big], to na mocy wzoru Eulera:

T_n(x)=\sum_{j=0}^n\alpha_je^{\mathrm{i}jx}

oraz

T_{2n}(x) = e^{\mathrm{i}nx} t_n(x) \,\!

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

O wielomianach trygonometrycznych mówi twierdzenie:
Każda funkcja f\colon \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} ciągła i okresowa, o okresie 2\pi, jest jednostajną granicą pewnego ciągu wielomianów trygonometrycznych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]