Wielomiany trygonometryczne

Wielomiany trygonometryczne to klasa funkcji rzeczywisto-rzeczywistych bądź rzeczywisto-zespolonych, mająca szczególne znaczenie w analizie numerycznej oraz analizie fourierowskiej.

Definicja

Rzeczywistym wielomianem trygonometrycznym stopnia $n$ nazywamy każdą funkcję postaci:

$t_n(x)=\sum_{j=0}^n(\alpha_j\cos jx+\beta_j\sin jx)$, gdzie $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, \alpha_j, \beta_j\in\mathbb{R}, j\in\{0,\ldots,n\}$.

Analogicznie, zespolonym wielomianem trygonometrycznym stopnia $n$ nazywamy każdą funkcję postaci:

$T_n(x)=\sum_{j=0}^n(\alpha_j\cos jx+\mathrm{i}\beta_j\sin jx)$, gdzie $n\in\mathbb{N}\cup\{0\}, \alpha_j, \beta_j\in\mathbb{R}, j\in\{0,\ldots,n\}$.

Uwagi

Jeśli $\bigwedge_{j\in\{0,\ldots,n\}}$$\big[\alpha_j=\beta_j\big]$, to na mocy wzoru Eulera:

$T_n(x)=\sum_{j=0}^n\alpha_je^{\mathrm{i}jx}$

oraz

$T_{2n}(x) = e^{\mathrm{i}nx} t_n(x) \,\!$

Zastosowanie

O wielomianach trygonometrycznych mówi twierdzenie:
Każda funkcja $f\colon \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ ciągła i okresowa, o okresie $2\pi$, jest jednostajną granicą pewnego ciągu wielomianów trygonometrycznych.

Zobacz też

• wielomiany Bernsteina,
• wielomiany Tonellego,
• twierdzenie Stone'a-Weierstrassa,