Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wielomiany trygonometryczne – klasa funkcji rzeczywisto-rzeczywistych bądź rzeczywisto-zespolonych, mająca szczególne znaczenie w analizie numerycznej oraz analizie fourierowskiej .
Rzeczywistym wielomianem trygonometrycznym stopnia
n
{\displaystyle n}
t
n
(
x
)
=
∑
j
=
0
n
(
α
j
cos
j
x
+
β
j
sin
j
x
)
,
{\displaystyle t_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}(\alpha _{j}\cos jx+\beta _{j}\sin jx),}
n
∈
N
∪
{
0
}
,
α
j
,
β
j
∈
R
,
j
∈
{
0
,
…
,
n
}
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\alpha _{j},\beta _{j}\in \mathbb {R} ,j\in \{0,\dots ,n\}.}
Analogicznie, zespolonym wielomianem trygonometrycznym stopnia
n
{\displaystyle n}
T
n
(
x
)
=
∑
j
=
0
n
(
α
j
cos
j
x
+
i
β
j
sin
j
x
)
,
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}(\alpha _{j}\cos jx+\mathrm {i} \beta _{j}\sin jx),}
n
∈
N
∪
{
0
}
,
α
j
,
β
j
∈
R
,
j
∈
{
0
,
…
,
n
}
.
{\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\},\alpha _{j},\beta _{j}\in \mathbb {R} ,j\in \{0,\dots ,n\}.}
Dla zespolonego wielomianu trygonometrycznego, jeśli
⋀
j
∈
{
0
,
…
,
n
}
{\displaystyle \bigwedge _{j\in \{0,\dots ,n\}}}
[
α
j
=
β
j
]
,
{\displaystyle {\big [}\alpha _{j}=\beta _{j}{\big ]},}
wzoru Eulera :
T
n
(
x
)
=
∑
j
=
0
n
α
j
e
i
j
x
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}\alpha _{j}e^{\mathrm {i} jx}}
oraz
T
2
n
(
x
)
=
e
i
n
x
t
n
(
x
)
.
{\displaystyle T_{2n}(x)=e^{\mathrm {i} nx}t_{n}(x).}
W przypadku, gdy powyższa implikacja nie zachodzi, wielomian można przedstawić w postaci:
T
n
(
x
)
=
∑
j
=
−
n
n
γ
j
e
i
j
x
{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{j=-n}^{n}\gamma _{j}e^{\mathrm {i} jx}}
O wielomianach trygonometrycznych mówi twierdzenie:
f
:
R
⟶
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }
2
π
,
{\displaystyle 2\pi ,}
![{\displaystyle {\big [}\alpha _{j}=\beta _{j}{\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f852427a54a8382bc864d150a0fd3d47feaa0e)
