Wzór Eulera

Z Wikipedii

Wzór Eulera – wzór analizy zespolonej wiążący funkcje trygonometryczne z zespoloną funkcją wykładniczą określany nazwiskiem Leonharda Eulera.

Spis treści

1 Wzór
2 Historia
3 Dowód
4 Trygonometria
- 4.1 Zastosowanie
- 4.2 Przykłady
5 Tożsamość Eulera
- 5.1 „Najpiękniejszy wzór”
- 5.2 Uogólnienie
6 Zobacz też
7 Przypisy

[edytuj] Wzór

Niech $x \in \mathbb R$ , zaś $i$ jest jednostką urojoną. Wzór Eulera ma postać

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$ .

[edytuj] Historia

Wzór Eulera został dowiedziony po raz pierwszy przez Rogera Cotesa w 1714 w postaci

$\ln(\cos x + i\sin x) = ix \,$

Euler był pierwszym, który opublikował go w obecnie stosowanej formie w 1748, opierając swój dowód na równości szeregów po obu stronach tożsamości. Żaden z nich nie widział interpretacji geometrycznej tego wzoru: utożsamienie liczb zespolonych z płaszczyzną zespoloną powstało około 50 lat później (wynik Caspara Wessela).

[edytuj] Dowód

Wzór można otrzymać określając potęgi zespolone liczby e. Funkcje $e x,cos x,sin x$ rozwinięte w szereg potęgowy mają postać:

$e^x = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \dots$ ,

$\sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - \dots$ ,

$\cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - \dots$ .

Powyższe definicje są poprawne również dla liczb zespolonych, gdyż promień zbieżności każdego szeregów jest nieskończony. Aby odróżnić przypadek rzeczywisty od zespolonego za $x \in \mathbb R$ podstawione zostanie $z \in \mathbb C$ .

Potęgę $e i z$ definiuje następujący wzór:

$e^{iz} = 1 + iz + {(iz)^2 \over 2!} + {(iz)^3 \over 3!} + {(iz)^4 \over 4!} + \dots = \left(1 - {z^2 \over 2!} + {z^4 \over 4!} - \dots \right) + i\left(z - {z^3 \over 3!} + {z^5 \over 5!} - \dots \right)$ ,

czyli $e i z = cos z + i sin z$ .

Ponieważ każdy z szeregów jest zbieżny bezwzględnie, to można zmieniać kolejność wyrazów bez zmiany sumy szeregu. Powrót do liczb rzeczywistych za pomocą podstawienia $z \mapsto x \in \mathbb R$ daje oryginalną tożsamość odkrytą przez Eulera.

Inne uzasadnienie formuły

Niech $f\colon \mathbb R \to \mathbb C$ będzie dana przez $f(x) = \cos(x) + i\sin(x)\,$ . Wówczas

$f'(x) = i\cos(x) - \sin(x) = i(\cos (x) + i\sin(x)) = if(x)\,.$

Następnie niech $g (x) = e - i x f (x)$ . Wtedy

$g'(x) = e^{-ix}(f'(x) - if(x)) = 0\,$

dla każdego $x$ , a stąd $g$ jest funkcją stałą. Ponieważ

$g(0) = e^{-i\cdot 0}f(0) = \cos(0) + i\sin(0) = 1\,,$

mamy $g (x) = 1$ dla wszystkich $x$ . Stąd też $f (x) = g (x) e i x = e i x$ , czyli

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,$ .

Przy okazji warto zauważyć, że jest to postać trygonometryczna liczby zespolonej o module jednostkowym.

[edytuj] Trygonometria

Wzór Eulera stanowi powiązanie analizy i trygonometrii dostarczając interpretację funkcji sinus i cosinus jako sum ważonych funkcji wykładniczej. Odpowiednie wzory można wyprowadzić budując odpowiedni układ równań:

$\begin{cases} e^{ix} = \cos x + i\sin x \\ e^{-ix} = \cos (-x) + i\sin (-x) \end{cases}$ .

Korzystając z własności parzystości i nieparzystości funkcji trygonometrycznych:

$\begin{cases} e^{ix} = \cos x + i\sin x \\ e^{-ix} = \cos x - i\sin x \end{cases}$ .

Po dodaniu stronami:

e i x + e - i x = 2cos x

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

Analogicznie otrzymuje się wzór:

$\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}$ .

Wzory te mogą służyć jako definicje funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych. Przykładowo podstawienie $x = i y$ daje:

$\cos(iy) = {e^{-y} + e^{y} \over 2} = \cosh y$ ,

$\sin(iy) = {e^{-y} - e^{y} \over 2i} = i\sinh y$ .

[edytuj] Zastosowanie

Tożsamość może zostać wykorzystana jako metoda do upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wymaga ona co prawda przejścia w rachunkach przez liczby zespolone, ale nie wymaga żadnej wiedzy na ich temat oprócz pamiętania, że $i 2 = - 1$ i znajomości poniższych trzech wzorów (funkcje tangens i cotangens określa się tak samo jak w przypadku rzeczywistym):

$\sin x = \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

$\cos x = \tfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

$e^{ix} = \cos x + i\sin x\,$

Najpierw należy przekształcić upraszczany wzór za pomocą dwóch pierwszych wzorów na postać wykładniczą (w przypadku tangensa i cotangensa rozbijając go na iloraz funkcji sinus i cosinus), następnie wykonać odpowiednie działania tak, jak na zwykłych potęgach liczb rzeczywistych, a na koniec stosując jeden z wzorów Eulera wrócić do postaci trygonometrycznej wyrażenia.

[edytuj] Przykłady

Sinus kąta zwielokrotnionego

Dla całkowitych dodatnich $n$ wyrażenia postaci $sin n x$ dają się wyrazić za pomocą samych wartości $sin x$ i $cos x$ oraz elementarnych działań.

Korzystając z powyższych wzorów:

$\sin nx = \tfrac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} = \tfrac{(e^{ix})^{n} - (e^{-ix})^n}{2i}$

Ze wzoru Eulera:

$\sin nx = \tfrac{(\cos{x} + i \sin{x})^{n} - (\cos{x} - i \sin{x})^n}{2i}$

Z dwumianu Newtona:

$\sin nx = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \tfrac{\cos{x}^k (i \sin{x})^{n-k} - \cos{x}^k (-i \sin{x})^{n-k}}{2i}$

Wyłączając wspólny czynnik:

$\sin nx = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \cos{x}^k \sin{x}^{n-k} \tfrac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i}$

I stosując wzór Eulera dostajemy ostatecznie

$\sin nx = \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} \cos{x}^k \sin{x}^{n-k} \sin{\frac{(n-k)\pi}{2}}$

Kilka pierwszych wielokrotności:

sin2 x = 2cos x sin x

sin3 x = 3cos 2 x sin x - sin 3 x

sin4 x = 4cos 3 x sin x - 4cos x sin 3 x

sin5 x = 5cos 4 x sin x - 10cos 2 x sin 3 x + sin 5 x

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych

Sprowadzić do prostszej postaci wyrażenie:

f (x) = 8cos 3 x sin x - 4cos x sin x

Korzystając ze wzorów Eulera na sinus i cosinus:

$f(x)=8\left( \tfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right) ^3 \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}-4\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\cdot \tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

Po wymnożeniu jest:

$f(x)=(e^{3ix}+3e^{2ix}e^{-ix}+3e^{ix}e^{-2ix}+ e^{-3ix})\tfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}-\tfrac{2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}$

i dalej:

$f(x)= \tfrac{e^{4ix}+3e^{2ix}+3+ e^{-2ix}-e^{2ix}-3-3e^{-2ix}-e^{-4ix}}{2i} -\tfrac{2e^{2ix}-2e^{-2ix}}{2i}$ ,

po skróceniu:

$f(x)= \tfrac{e^{4ix}-e^{-4ix}}{2i}$ ,

dlatego po zastosowaniu pierwszego z podanych wzorów Eulera wyrażenie ma postać:

f (x) = sin4 x

[edytuj] Tożsamość Eulera

Funkcja wykładnicza e^z może być zdefiniowana jako granica ciągu (1+z/N)^N, przy N dążącym do nieskończoności. Powyżej, kładziemy z=iπ i rozważamy wartości N od 1 do 100. Obliczanie wartości (1+iπ / N)^N jest przedstawione jako N-krotne powtórzenie możenia na płaszczyźnie zespolonej (gdzie ostatni punkt to wartość (1+iπ / N)^N). Zauważmy, że ze zwiększaniem liczby N, liczba zespolona (1+iπ / N)^N zbliża się do -1. Zatem e^iπ=-1.

W szczególności, podstawiając $x = π$ otrzymuje się równość:

e π i + 1 = 0

,

nazywaną też tożsamością Eulera (czasami wzorem Eulera).

Nie istnieją żadne znane dokumenty potwierdzające autorstwo Eulera; co więcej, była ona zapewne znana matematykom żyjącym przed nim.

[edytuj] „Najpiękniejszy wzór”

Tożsamość Eulera nazywana jest często najpiękniejszym wzorem matematycznym. Wykorzystane są w niej trzy działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie i potęgowanie. Tożsamość łączy pięć fundamentalnych stałych matematycznych:

liczbę 0,
liczbę 1,
liczbę π,
liczbę e,
liczbę i, jednostkę urojoną liczb zespolonych.

Dodatkowo każde z powyższych działań oraz każda ze stałych użyte są dokładnie raz, co więcej: wzór ten jest przedstawiony w zwyczajowej formie równania, którego prawa strona jest równa zeru.

[edytuj] Uogólnienie

Tożsamość Eulera jest przypadkiem szczególnym trochę ogólniejszej tożsamości, w której pierwiastki z jedynki $n$ -tego stopnia sumują się do $0$ dla $n > 1$ :

$\sum_{k=0}^{n-1} e^\frac{2\pi i k}{n} = 0$ .

Tożsamość Eulera otrzymuje się przez podstawienie $n = 2$ .

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

Wzór Eulera

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Wzór

[edytuj] Historia

[edytuj] Dowód

[edytuj] Trygonometria

[edytuj] Zastosowanie

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Tożsamość Eulera

[edytuj] „Najpiękniejszy wzór”

[edytuj] Uogólnienie

[edytuj] Zobacz też

Przypisy

Widok

Osobiste

Szukaj

Nawigacja

Dla czytelników

Dla edytorów

Drukuj lub eksportuj

Narzędzia

W innych językach