Wyróżnik

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników tego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Wyróżnik wielomianu stopnia n

p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0

to

D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,,

gdzie R(p,q) to rugownik p,q. Tak więc R(p,p') jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia 2n − 1:

\left(\begin{matrix} & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\ & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\ & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & \ldots\ & 1a_1 \\ \end{matrix}\right).

[edytuj] Zależność od pierwiastków wielomianu

Jeśli x_1 ,x_2, \ldots x_n są (z uwzględnieniem krotności) wszystkimi pierwiastkami wielomianu p(x)=a_n (x-x_1)(x-x_2)\cdot\cdots\cdot(x-x_n), to wyróżnik Δ wyraża się wzorem

\Delta = a_n^{2n-2}\left(\det (x_i^{j-1})\right)^2 = (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{n-2}f'(x_1)\cdot f'(x_2)\cdot\cdots\cdot f'(x_n) =(-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-2}\prod (x_j - x_i)

gdzie iloczyn rozciąga się na wszystkie pary numerów i,j takie, że i\neq j.

Wyróżnik jako funkcja pierwiastków wielomianu p(x) jest wielomianem symetrycznym, więc wyraża się przez współczynniki wielomianu p(x), np. jako wspomnany wyżej wyznacznik Sylvestera.

Wielomian stopnia 2 nad ciałem K ma pierwiastki w K wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele K. Jeśli K jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w K gdy jego wyróżni jest nieujemny. Już gdy K jest ciałem liczb wymiernych, jest inaczej: trójmian x2 − 3x + 2 ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik Δ = 1 jest kwadratem w ciele liczb wymiernych; trójmian x2 − 3x + 1 ma dodatni wyróżnik Δ = 5, więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.

Już dla wielomianów stopnia 3 związek między wyróżnikiem a istnieniem pierwiastków w danym ciele jest bardziej skomplikowany, na przykład wielomian stopnia 3 nad ciałem liczb rzeczywistych ma jeden pierwiastek rzeczywisty gdy jego wyróżnik jest ujemny.

[edytuj] Przykłady

  • Wyróżnikiem funkcji kwadratowej ax2 + bx + c jest Δ = b2 − 4ac.
  • Wyróżnikiem trójmianu axn + bx + c jest \Delta = (-1)^{n(n-1)/2}\left((1-n)^{n-1}a^{n-2}b^n+n^na^{n-1}c^{n-1}\right).

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Wyr%C3%B3%C5%BCnik”