Wyróżnik
Z Wikipedii
Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników tego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Wyróżnik wielomianu stopnia n
to
,
gdzie R(p,q) to rugownik p,q. Tak więc R(p,p') jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia 2n − 1:
[edytuj] Zależność od pierwiastków wielomianu
Jeśli
są (z uwzględnieniem krotności) wszystkimi pierwiastkami wielomianu
, to wyróżnik Δ wyraża się wzorem
gdzie iloczyn rozciąga się na wszystkie pary numerów i,j takie, że
.
Wyróżnik jako funkcja pierwiastków wielomianu p(x) jest wielomianem symetrycznym, więc wyraża się przez współczynniki wielomianu p(x), np. jako wspomnany wyżej wyznacznik Sylvestera.
Wielomian stopnia 2 nad ciałem K ma pierwiastki w K wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele K. Jeśli K jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w K gdy jego wyróżni jest nieujemny. Już gdy K jest ciałem liczb wymiernych, jest inaczej: trójmian x2 − 3x + 2 ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik Δ = 1 jest kwadratem w ciele liczb wymiernych; trójmian x2 − 3x + 1 ma dodatni wyróżnik Δ = 5, więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.
Już dla wielomianów stopnia 3 związek między wyróżnikiem a istnieniem pierwiastków w danym ciele jest bardziej skomplikowany, na przykład wielomian stopnia 3 nad ciałem liczb rzeczywistych ma jeden pierwiastek rzeczywisty gdy jego wyróżnik jest ujemny.
[edytuj] Przykłady
- Wyróżnikiem funkcji kwadratowej ax2 + bx + c jest Δ = b2 − 4ac.
- Wyróżnikiem trójmianu axn + bx + c jest
.


