Wyróżnik

Wyróżnik wielomianu – wyrażenie zbudowane ze współczynników tego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

Definicja

Wyróżnik wielomianu stopnia n

$p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0$

to

$D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p')\,$,

gdzie $R(p,q)$ to rugownik $p,q$. Tak więc $R(p,p')$ jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia 2n − 1:

$\left(\begin{matrix} & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\ & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\ & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ & \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\ & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & \ldots\ & 1a_1 \\ \end{matrix}\right).$

Zależność od pierwiastków wielomianu

Jeśli $x_1 ,x_2, \ldots x_n$ są (z uwzględnieniem krotności) wszystkimi pierwiastkami wielomianu $p(x)=a_n (x-x_1)(x-x_2)\cdot\cdots\cdot(x-x_n)$, to wyróżnik $\Delta$ wyraża się wzorem

$\Delta = a_n^{2n-2}\left(\det (x_i^{j-1})\right)^2 = (-1)^{n(n-1)/2}a_n^{n-2}f'(x_1)\cdot f'(x_2)\cdot\cdots\cdot f'(x_n) =(-1)^{n(n-1)/2}a_n^{2n-2}\prod (x_j - x_i)$

gdzie iloczyn rozciąga się na wszystkie pary numerów $i,j$ takie, że $i\neq j$.

Wyróżnik jako funkcja pierwiastków wielomianu $p(x)$ jest wielomianem symetrycznym, więc wyraża się przez współczynniki wielomianu $p(x)$, np. jako wspomnany wyżej wyznacznik Sylvestera.

Wielomian stopnia 2 nad ciałem $K$ ma pierwiastki w $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele $K$. Jeśli $K$ jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w $K$ gdy jego wyróżni jest nieujemny. Już gdy $K$ jest ciałem liczb wymiernych, jest inaczej: trójmian $x^2 -3x+2$ ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik $\Delta = 1$ jest kwadratem w ciele liczb wymiernych; trójmian $x^2-3x+1$ ma dodatni wyróżnik $\Delta = 5$, więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.

Już dla wielomianów stopnia 3 związek między wyróżnikiem a istnieniem pierwiastków w danym ciele jest bardziej skomplikowany, na przykład wielomian stopnia 3 nad ciałem liczb rzeczywistych ma jeden pierwiastek rzeczywisty gdy jego wyróżnik jest ujemny.

Przykłady

• Wyróżnikiem funkcji kwadratowej $ax^2+bx+c$ jest $\Delta = b^2-4ac$.
• Wyróżnikiem trójmianu $ax^n+bx+c$ jest $\Delta = (-1)^{n(n-1)/2}\left((1-n)^{n-1}a^{n-2}b^n+n^na^{n-1}c^{n-1}\right)$.

Zobacz też

• równanie kwadratowe
• Równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia